problème pour étudier la convergence simple d'une série de fonctions

[citron_21]

Bonjour à tous,
en faisant un exercice, je suis tombé sur une série de fonctions, dont je n'arrive pas à étudier la convergence simple :

u_n(x)=x/[n(1+nx²)]

D'habitude, pour étudier la convergence simple d'une série de fonctions, je sépare les cas :
par exemple : pour x>0, la fonction est équivalente à une fonction de Riemann, donc série convergente.

ici, je ne vois pas du tout comment séparer les cas. J'ai bien essayé de majorer u_n(x) par x/(1+x²) mais je ne vois pas trop quoi en tirer...

Merci d'avance de votre aide
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[invite769a1844]

Salut,

on sépare suivant ces cas: , , .

Pour tu l'as déjà fait,

pour , que vaut ?

pour , tu poses et tu essaies de retomber sur le premier cas.

[citron_21]

Merci de ta réponse,
mais ce que j'ai dis plus haut était juste un exemple.
Je ne vois justement pas comment rapprocher u_n(x) à une fonction de Riemann. En fait, j'ai deux termes en n au dénominateur, ce qui empêche toute simplification en passant par les équivalents.
Une fonction de Riemann ayant toujours la forme 1/(x^p), je n'arrive justement pas à n'obtenir qu'un seul terme au dénominateur...

Avez-vous une idée ?
Merci beaucoup

[invite769a1844]

pour le cas où ? tu peux montrer que .

[A voir en vidéo sur Futura]

[citron_21]

Ah d'accord !
merci beaucoup