Algèbre ! Classe CPGE ATS déduire une relation..

[invite6506de5c]

Bonjour,

Nous sommes un bon groupe à bucher sur un devoir et nous sommes bloqué à l'avant dernière question:

Voici un résumé du devoir d'algèbre:

On considère le fonction f définie sur R par f(x)=e(-x²/2)
On définit la fonction polynomiale Pn par la relation:
f^(n)(x)=(-1)^n . Pn(x) f(x) ou f^(n) est la dérivée n-ième de f.

(R): Pn+1(x)=xPn(x)-P'n(x)
(R'): Pn'(x)=nPn-1(x)
(R''): Pn+1(x)=xPn(x)-nPn-1(x)

Q8=En utilisant la relation (R''), donner la valeur de P2k(0), ou k désigne un entier naturel n>0.

Q9=Démontrer que pour tout entier naturel k, on a:

P'2k(0)=0 et P2k+1(0)=(2k+1)!/(k!.2^k)

Nous continuons à travailler dessus mais nous sommes bloqués
Une petite aide serait bien utile,
Merci
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[invite57a1e779]

La relation (R''), utilisée pour et fournit : ,
ce qui permet d'établir une conjecture sur la valeur de , et de la prouver par récurrence.

Ensuite la relation (R) fournit : ce qui n'est pas compatible avec les relations demandées en Q9.
N'y aurait-il pas une erreur de recopie de l'énoncé ?

Le principe est de toute façon d'utiliser au mieux les relations pour :

(R):
(R'):
(R''):

[invite6506de5c]

L'énoncer est bien bon, nous avons vu notre professeur, il nous as dit qu'elles n'étaient pas faciles...

[invitec317278e]

L'énoncer est bien bon, nous avons vu notre professeur, il nous as dit qu'elles n'étaient pas faciles...

Pourtant, il est manifeste que ce que tu as écrit est faux :
On a
Donc
ce qui veut dire que tu dois prouver que

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6506de5c]

En effet c'est:
p'2k+1(0)=(2k+1)!/(k!.2^k)
Pouvez vous nous aidez pour la Q8?

[invite57a1e779]

Dans Q9, on va utiliser la relation

(R'):

qui fournira .

Pour obtenir le résultat demandé, que faudrait-il avoir trouvé à Q8 ?

En fait Q9 permet de connaître le résultat de Q8
On pose donc ce résultat, et on le démontre par récurrence.