Recherche de résidus

[invitee75a2d43]

Bonjour,

Je n´ai pas de problème concret à résoudre, j´ai plutôt une question de principe sur le calcul de résidus d´une fonction complexe:

Il me semble que je n´ai pas tous les outils nécessaires pour ces calculs. Pour être plus concret, à mon dernier examen, il s´agissait entre autre de calculer des intégrales réelles grâce à la méthode des résidus. Or dans la pratique, je ne connais que trois outils pour ça:

Pôles d´ordre 1:



Si le pôle est d´ordre 1 et f est une fraction du genre h/g:

Res(f;a) = (h/g´)(a)

Pôles d´ordre n:



Mon problème se situe à l´ordre n, généralement on nous pose des exos qu´avec des pôles de l´ordre maximum 2. Mais déjà à l´ordre 2, il s´agit de dériver une fois des fractions rationnelles très longues. Ça prend du temps et surtout c´est sujet à des erreurs. C´est ce qui m´a pénalisé au dernier examen. Donc je me demande s´il me manque des outils. N´y a-t-il pas un truc compact comme h/g´dans l´ordre 1?

Je suis intéressé par les tuyaux de toutes sortes.

Merci d´avance

Christophe
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[invite57a1e779]

On peut aussi poser et , on est ramené à calculer le résidu de en 0 qui est toujours un pôle d'ordre .
On revient à la définition et on détermine le coefficient de dans la série de Laurent de en 0, que l'on calcule par développement limité. Il faut remarquer que l'on ne veut qu'un coefficient de la série de Laurent, qu'il est inutile de calculer les autres, ce qui peut « simplifier » le calcul par développement limité, puisqu'on n'est pas obligé de tout expliciter. On concentre son attention sur un seul coefficient pour lequel il ne faut pas faire d'erreur.

[invitee75a2d43]

merci, je vais m´y attacher, j´aurai très certainement des questions prochainement