Intégrale d'une série

[invitef8bd6408]

Bonjour tout le monde.

J'aurais aimé connaitre la justification de l'égalité ci-dessous car pour moi c'est pas forcémment toujours vrai....


merci d'avance
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[invitebb921944]

Bonjour, tu peux justifier ça avec le théorème de Fubini-Tonelli.

[invitef8bd6408]

mais tonnelli-fubini que je connais c'est pour inverser l'ordre d'intégration, pas pour inverse une intégrale et une série... no? C'est quoi l'énoncé?

merci

[invitebb921944]

En fait, ton cas est simplement un cas particulier de l'interversion de deux signes intégrales :


où est la mesure de comptage sur .
Reste à vérifier les hypothèses...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

IL faut utiliser de la convergence dominée.
Dans quel monde z vit-il ?

[invitef8bd6408]

Je connais pas la mesure de comptage sur ni la convergence dominée... ou en tout cas le nom me dit rien. C'est quoi ça?
est un nombre complexe dont sa partie réelle est positive.

Merci

[invite11568c71]

C'est la convergence majorée (Lebesgue).

Tu as donc la réponse voulue. Tu peux utiliser Tonelli-Fubini en considérant la série comme une intégrale avec une mesure bien définie (cf. un cours de théorie de la mesure) ou bien par une application de Lebesgue.

[breukin]

Pour ma culture, la fonction khi_{[k, k+1[}, c'est quoi ?

[invitef8bd6408]

C'est la fct qui vaut 1 sur [k,k+1[ et 0 ailleurs

[breukin]

Donc la série à gauche, sous l'intégrale, c'est la fonction partie entière.
Je ne vois pas trop pourquoi invoquer un théorème, cela se découle directement, sans besoin de théorie de la mesure.