Bonjour à tous.
Pourriez-vous m'aider, je cherche à montrer que pour f continue de R dans C, avec f(x)=o(1/x^2) au V(+infini) on a:
la série des h*f(nh) qui tend vers l'intégrale de 0 à l'infini de f quand h tend vers 0+.
merci
(désolé je ne maîtrise pas le latex)
Voilà je tente de relancer le topic. Il s'agit de montrer:
Merci d'avance
Par contre je n'ai pas LaTex ici désolé
Fixons e>0 avec e<1
Fixons h>0 avec h<e
int(0,+oo,f(x)) = somme( n=0,+oo, int(nh,(n+1)h,f(x)) )
Donc en faisant la différence (notée d) avec la somme proposée on a :
d=somme(n=0,+oo, h*f(nh)-int(nh,(n+1)h,f(x)))
De plus : h*f(nh)=int(nh,(n+1)h,f(nh))
Donc :
d=somme(n=0,+oo, int(nh,(n+1)h, f(nh)-f(x)))
Or en écrivant, pour x dans [nh,(n+1)h]
f(nh)-f(x)=1/(nh)²*[f(nh)-f(x)]*(nh)²
On peut dire que f(x)*(nh)² tend vers 0 lorsque n tend vers +oo (x dépend de n)
et que f(nh)*(nh)² tend vers 0 (car hypothèse du o(1/x²))
et par inégalité triangulaire il vient :
d < somme(n=0,+oo, 1/(nh)²*int(nh,(n+1)h, (nh)²*|f(nh)-f(x)|))
PS : (nh)²*|f(nh)-f(x)| tend donc vers 0 lorsque n->+oo
On a donc, à partir d'un certain N fixé, en majorant (nh)²*|f(nh)-f(x)| par he:
pour tout n>N :
int(nh,(n+1)h, (nh)²*|(f(nh)-f(x))|) < int(nh,(n+1)h, he) = h²e
donc en coupant la somme en 2, l'une allant de 0 à N et l'autre de N à +oo on a :
|somme(N,+oo,.......)| < eh²*somme (1/(nh)²) = constante*e
|somme(0,N,....)| < e*constante
Désolé je n'ai pas détaillé la fin...Il faut cependant bien réglé h pour qu'il satisfassent aux exigences pour
|somme(N,+oo,.......)| et |somme(0,N,....)| chose que je n'ai pas faite (en général ce genre de réglage se fait apres coup)
L'idée c'est que d'une part la somme vers +oo tend vers 0 à cause du o(1/n²) et la somme de 0 à N tend vers 0 car h à été choisi suffisamment petit.
Par contre il faudra faire preuve de plus de rigueur que moi surtout là où j'ai souligné car les réglages à faire sont complexes et je ne les ai pas fait.
Enfin, mon raisonnement est criticable....
Extrait de l'épreuve de maths 2 MP des ENS
Perso, j'ai bidouillé un truc avec les sommes de Riemann... ça m'avait l'air de bien marcher.
Romain
Oups, j'ai l'impression qu'il y a une coquille dans mon raisonnement car le N que je fixe dépend de h et après, il faut que je règle h en fonction de N.....Enfin bon...En tous cas mon truc serait applicable si l'intégrale était sur un segment (j'ai l'impression).
Moi aussi elle ma donné du mal celle ci...
j'ai essayé de bricoler un truc avec de la convergence dominé :
si on pose [x] la partie entiere de x.
on prend fh(x)=f(h[x/h]),
fh converge simplement vers f quand h->0, et l'intégrale de fh sur R+, vaut la somme des hf(nh)
reste plus qua réussit à dominer fh... bon la j'avoue ca coince un peu.
y a bien g(x) = Sup de f sur [x-1,x+1] inter R)
sa domine fh des que h<1, c'est en o(1/x²)
le probleme c'est la continuité/continuité par morcaux... si on prend des exemple un peu pathologique (type fonction de Weirstrass étudié dans le meme probleme) je pense pas que cette fonction soit forcement continu par morcaux... dans l'absolue on doit pouvoir montrer que c'est intégrable, mais sa sort largement du programe de spé...
sinon, il me semble que la bonne methode, c'est effectivement de "couper en deux" l'intégral, on prend epsilon >0, il existe A telle que :
|intégral de A a +inf de f | < epsilon
apres on a (somme de rieman) la somme des de 0 a A/h de h*f(n*h) qui tend vers intégral de 0 a A de f.
bon apres faut un peu jouer avec l'epsilon pour régler sa... mais (sans avoir trop chercher parceque j'ai pensé à sa que apres l'épreuve) j'ai pas réussit a bien réglé le probleme (je suis coincé sur un probleme de dépence des epsilons entre eux...)
Oui c'est bien une des questions du sujet de maths 2 des ens.
erff--> c'est bien mon problème, je n'arrive pas à me débarasser de la dépendance en h.
OUla si je commence à réussire les exos de l'ENS je vais plus toucher Terre.....
Bon en plus pour avoir assidument fréquenté j'Intègre de JM Monier il me semble l'avoir déjà fait...Ben alors les Taupins on révise pas???!!!!!
Bref il faut comparer la série et l'intégrale à une intégrale intermédiaire(feinte absolue!) qui estbon c'est ca change pas grand chose au problème. Sauf que par changement de variable (et une limite de N) on pe se ramener facilement à notre intégrale(c'est déja ça). Ensuite ondécoupe notre inégrale
Et la on voit pourquoi les math c'est puissant! Comme
ton latex a un peu foiré ^^ j'ai du mal à lire ce que tu as ecrit... mais soit j'ai mal compris ce que tu as ecrit (c'est possible, avec les indices qui ce mélange) soit c'est encore loin d'etre finit, je saisit pas bien ce que tu dit avoir prouvé à la fin en fait...
parceque soit il y a quelque chose d'astucieux dans ce que tu fais qui m'echape, soit tu as juste dit ce que globalement tous le monde avait déja fait sans détailler la fin, qui est le passage qui pose vraiment probleme !
OUla si je commence à réussire les exos de l'ENS je vais plus toucher Terre.....
Bon en plus pour avoir assidument fréquenté j'Intègre de JM Monier il me semble l'avoir déjà fait...Ben alors les Taupins on révise pas???!!!!!
Bref il faut comparer la série et l'intégrale à une intégrale intermédiaire(feinte absolue!) qui est
Et la on voit pourquoi les math c'est puissant!
Bonsoir,
désolé je ne vois pas non plus où tu veux en venir.
Peux tu préciser le rôle de ton
Bon je me suis un précipité il faut prende epsilon=1/(M+1) et donc lorsque h tend vers 0 et N tend vers l'infinis c'est bon la différence est nulle d'ou le deux termes sont égaux et comme l'inégrales intermédaire est égale à la première lorsque N tend vers l'infinis c'est terminé!
le eta c'est celui qui sert pour la définition des limites on se sert du caractère continue de f eta sert a dire que je peux rapproché hn-ht de façon à ce que le ce que |f(hk)-f(ht)| est inférieure à epsilon et voilou
Mais je vois toujours pas désolé.
Que vaut
C'est notre problème en fait.
(Pour le eta: ok c'est juste que tu as mis epsilon dans ton post donc pas de soucis pour ça)
Effectivement j'avais pas vu mon érreure ben pour ton intégrale fait le changement de variable ht=u ensuite tu fait tendre N vers plus l'infinis c'est bon
ok avec le changement de variable on obtient
Ta définition de êta semble dépendre de h et de n, non?
Epsilon dépend de n et éta dépend de epsilon doncéta dépend de n.Cepandant epsilon est quelconque pour tout n donc on le prend petit meme identique sur tout les intervale [n;n+1]. Pour éta on prend le plus grand des éta sur tout les intervales et si un éta est infinis (peu probable) ca fonctionne pour un eta un peu plus petit mais toujours superieur à tous les autres éta voila.
si je te suis bien, tu as montré que :
pour tous Epsilon et pour tous N, il existe eta telle que si 0<h<eta
alors |(intégral de 0 a N de h*f(th)dt)-(somme de 0 a N des h*f(nh) )|<h*(N+1)*epsilon.
pour quoi pas... et apres ?
tu sugère de prendre epsilon=1/(N+1)² c'est sa ?
donc on a :
pour tous N, il existe eta telle que si 0<h<eta
|(intégral de 0 a N de h*f(th)dt)-(somme de 0 a N des h*f(nh) )|<h/(N+1)
la on fait tendre N vers +inf et... non je suis pas d'accord eta varie avec N, on peut pas faire bouger N tend que eta apparait encore.
c'est la fin de la démonstration qui nous manque... tous ce que tu as fait jusque la hontement, j'ai du l'ecrire d'au moins 5 facon différente sur mon brouillons...
Je me suis un peu précipité sur la fin je pensais que ce que je t'avais donné suffisais mais en y regardant de plus près, je me suis apercu de ma malhadresse. il faut séparer la somme en deux un peu comme pour Césaro pour bien terminer. et cette fois si c'est N1 qui fait converger la différence vers 0 voial.
Finalement quand h tend vers o la différence converge vers 0
je vois pas d'ou sort la premier ligne, tu peut etre plus claire.
et la fin tu n'as toujour pas le bon résultat. si j'ai bien suivit (a part cette pemier ligne qu je saisit pas bien...) tu as prouvé que pour N fixé : (l'intégral de 0 a N de h*f(ht) - la somme des h*(fnh)) tend vers 0
mais la pour le coup tu m'apprend rien parceque pour N fixé, les deux terme de la différence tendent chacun vers 0 !
La première ligne c'est la continuité de la fonction f donc je me suis dis que ça ne pauserai de problème. Pour le N tu le choisit aussi grand que tu veux et comme c'est le premier paramètre prend le à 10^100 on sait par continuité que pour tout epsilon il existe N1 tel que pour tout nh>N1 |f(nh)-f(ht)|<epsilon si epsilon c'est 1/(10^100 + 1) ce qui est possible alors j'ai bien toutes les majorations que je t'ai donné et donc lorsque h tend vers 0 la différence tend vers 0.Je commence par fixé un N puis epsilon puis N1 .... et je termine en faisant tendre h vers 0.Si tu réfléchis bien à cet ordre de fixation des paramètres tu vera que c'est bon
La première ligne c'est la continuité de la fonction f donc je me suis dis que ça ne poserai de problème. Pour le N tu le choisit aussi grand que tu veux et comme c'est le premier paramètre prend le à 10^100 on sait par continuité que pour tout epsilon il existe N1 tel que pour tout nh>N1 |f(nh)-f(ht)|<epsilon si epsilon c'est 1/(10^100 + 1) ce qui est possible alors j'ai bien toutes les majorations que je t'ai donné et donc lorsque h tend vers 0 la différence tend vers 0.Je commence par fixé un N puis epsilon puis N1 .... et je termine en faisant tendre h vers 0.Si tu réfléchis bien à cet ordre de fixation des paramètres tu vera que c'est bon
non ca vas pas du tous ton truc.
ton N est fixé est tu n'as aucun moyen de le faire tendre vers +l'infinit tant que tu as pas absorbé tous ce qui viens apres.
ta premier ligne ne peut pas ce justifier juste par la continuité de f, sinon tu as un N1 qui depend de n, et donc c'est pas possible de sommer, il faudrait utiliser la continuité uniforme de f (c'est le cas car f(x) tend vers 0, donc c'est Uniformement continue d'apres Heine dans Rbarre ) pour avoir une proposition de ce type.
la en corrigeant ta premiere ligne (qui déja est vraiment pas claire, et qui sans un argument de continuité uniforme est totalement fausse) tu me montre juste que somme de h*f(nh) de n=0 a N - intégral de h*f(t*h) de t=0 a N tend vers 0. mais comme je te l'ai dit, ca n'apporte rien, car les deux termes tendent tous les deux vers 0, donc c'est un peu évident que leurs différence tend vers 0... ca prouve absoluement pas que somme des h*f(nh) de n=0 a +inf tend vers l'intégral de f(t) entre 0 et +infinit...
d'ailleur, tu n'as meme pas utiliser l'hypothese f(x)=o(1/x²) !! qui est pourtant essentiel (et à priori ca ne sert pas uniquement à justifier que f est intégrable... enfin a moins que les concepteurs du sujet ce soit amusé à mettre des hypothese trop forte volontairement)
J'aimerais que ce fis dont le sujet il me semble est Re : série-intégrale ne se transforme pas en sisisi tu t'es trompé si possible, sachant que j'entend seulement apporté mon aide sur un exo.
Ceci dit J'ai choisit N quelquonque alors je ne vois pas pourquoi vous n'arrivez pas à le faire tendre vers l'infinis puisqu'il est quelconque à moins que vous ne me reprochiez de ne pas avoir présiser que l'on était dans grand R et que cela rendait par de voie de fait ma démonstration caduc. Je vous l'accorde les préssisions n'était pas très nombreuses, mais je crois que personne n'a demandé un corrigé du sujet de l'ens? J'ai donc donné une réponse avec le minimum syndicale. D'ailleurs il me semble bien que vous faites preuves d'autant d'impréssions que moi dans vos reproches.... Sur la continuité elle est a l'évidence uniforme ( personne n'a ici chercher non plus a démontrer que la focntion f tendais vers o ou qu'elle était intégrable).
Je récapitule, votre principal objection est que N ne peux tendre vers l'infinis ce qui est tres étrange car moi je l'ai choisis quelconque après à vous de voir.Ceci dit je peux tout a fait me tromper completement mais il faudra apporter d'autre argument que le fait que N soit fixé pour une raison qui demeure assez floue
Salut.. Bon voilà ma réponse à moi. Elle est ptêt fausse mais bon. Le truc qui me chiffonne c'est que ça marche pour f en O(1/x^2).
Dans tout ce qui suit, on supposera que 0<h<1.
On pose
On coupe en deux l'intégrale :
et la somme :
où N est choisi de sorte que :
Alors
En v.abs c'est majoré par
On sait déjà que
On "sait" (type somme de Riemann, voir plus loin) que
Donc pour
---
Pour ceussent qui veulent, je démontre (1). N'oubliez pas que N est fixé dans ce qui suit, seul h varie.
Dans tout ce bazar (la somme et l'intégrale) on remarquera que l'argument de f est toujours compris entre 0 et
Donc on peut utiliser la continuité uniforme sur [0;N+1]. Soit donc
Si
La dernière expression est majorée par
On a donc
D'autre part
Donc en v.abs, la différence est majorée par
Donc pour h assez petit, somme et intégrale différent au plus de
CQFD (?)
Je pense que tu à la démonstration qu'attendait les correcteurs etant donné que tu utilise le 0(1/n^2).Cependant ya une petite érreure au début sur la majoration du reste de l'intégral je crois que tu a ouyblié le carré du n^2. Et c'est intéressant en fait ta démonstration car lorsque tu majore le reste de la série 1/n^2 on voit qu'il est tout à fait possible de le faire si f n'est pas un 0(1/n^2) le me type de majoration si f=0(1/n) on majore avec un log par exemple ce qui reviens au même.Et ça répond à la question Ksilver qui se demandait comment j'avais pu m'en passer.
Il est fréquent qu' existe plusieurs façons de résoudre un problême surtout lorsqu'il s'agit d'analyse. Et on peut souvant suprimé des hypothèses. On peut aussi remarquer qu'il se peut qu'il est des fautes dans l'énnoncé aussi étranges que cela puissent paraitre.J'ai par exemple constaté une faute sur le sujet du second concour 2006 Math. ou l'on veut faire des convolution avec des fonctions continues par morceau à support compact ce qui est maleuresement impossible pour exemple f(x)=1/x^2 sur R étoile et x=0 en o, en s'arrangeant pour que la fonction soit bien à support compact.
J'ai cru voir un o(1/n^2) dans l'énoncé rapporté par SingeGlacé, c'est bizarre que je n'utilise que O(1/n^2).Envoyé par GUTS
Quant à l'erreur, je ne vois pas trop :
et ceci est majoré par le reste d'une série en
Ça a l'air de marcher, mais j'ai mal compris où tu as vu une erreur.
Ben pour que ça marche il faut compenser le h du dénominateur ; le "truc" est de mettre une borne variable (N/h...) au lieu d'une borne fixe genre N.
1/n ne permet pas de majorer le reste (d'ailleurs il n'y a pas de reste, vu que la série diverge). Et si on prend
qu'il est impossible en l'état de majorer uniformément en h.
Pour que ça donne quelque chose il faut remplacer ma borne mobile N/h par (N/h^2). Le problème, c'est qu'on ne maîtrise pas
aussi facilement...
Cela dit, regarde par exemple f qui vaut 1 sur [0;1] et
La somme de droite est minorée par
On trouve que la somme totale est minorée par un machin qui tend vers 3 lorsque h tend vers 0.
En majorant, on trouve que la somme totale est majorée par un machin qui tend vers 3 lorsque h tend vers 0.
Donc elle tend vers 3 ; et c'est exactement la valeur de l'intégrale de f...
Je subodore donc que tu as raison et que ça doit aussi marcher avec f en
Je vais regarder, ça m'intéresse...J'ai par exemple constaté une faute sur le sujet du second concour 2006 Math. ou l'on veut faire des convolution avec des fonctions continues par morceau à support compact ce qui est maleuresement impossible pour exemple f(x)=1/x^2 sur R étoile et x=0 en o, en s'arrangeant pour que la fonction soit bien à support compact.
Taar.
Au temps pour moi, ça marche aussi TRÈS BIEN avec
Ca donne
Bien vu GUTS...
l'hypothese minimal est (je crois)
f=O(g) avec g décroissante intégrable sur R.
enfait, avec cette hypothese la démonstration la plus simple que j'ai trouvé est par domination :
on pose fh=f(h[x/h])
(le crochet désigne l'arondit supérieur)
fh converge simplement vers f quan f tend vers 0.
il existe M telle que f(x)<Mg(x)
donc fh(x)<Mg(h[x/h])<Mg(x), car [x/h]>x/h
on a donc dominé fh(x) par une fonction intégrable sur R, donc d'apres le théorème de convergence dominé, l'intégrale de fh converge vers l'intégrale de f. (et l'intégrale de fh, vaut justement la somme étudié)
mais la démonstration donné par GUTS marche pas du tous, il n'utilise pas d'hypothese de majoration !!! "f intégrable" ne suffit pas du tous (il y a plein de contre exemple tres simple ...)
Effectivement grossière érreure de ma part mais tu m'a devancé je voulais me placé dans des cas ou ca fonctionne comme [tex] 1+\alpha [\tex] et alpha petit.
Donne en un d'exemple on sera vite fixé, explique moi clairement pourquoi N ne peut pas bouger et ça dissipera tout malentendu.Mais je dois dire que pour les éxemple mais un peu tordue que j'ai choisit sa fonctionne.
