série-intégrale

[invite9cf21bce]

l'hypothese minimal est (je crois)

f=O(g) avec g décroissante intégrable sur R.

enfait, avec cette hypothese la démonstration la plus simple que j'ai trouvé est par domination :

[...]

Superbe, très convaincant ! Deux petites "corrections" pour faire briller :

• il vaut mieux se placer dans la théorie de Lebesgue, car f_h n'est pas continue ; à moins qu'on ait une définition ad hoc de "continue par morceaux" et un théorème à la hauteur.
• l'intégrale de f_h est la somme étudiée, sauf le premier terme (n=0). Il tend vers 0, donc ça marche.

"f intégrable" ne suffit pas du tous (il y a plein de contre exemple tres simple ...)

En voici un :

On prend f continue, nulle partout sauf au voisinage des entiers ou elle prend la forme d'un triangle isocèle de hauteur 1 et d'aire

f est positive ; elle est intégrable, la somme vaut .

Considérons maintenant la série lorsque h vaut 1/N (N entier).

La somme de la série est minorée par la somme des termes où on n'a pris que les multiples de N.
Pour un tel , on a .
On minore donc par , qui diverge.
Donc la série diverge.

On ne peut pas esquiver le problème, car les 1/N sont aussi petits qu'on veut.

Taar.
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[invite4ef352d8]

ouai, c'est a ce genre de chose que je pensais comme contre exemple, la serie converge pour certaine valeur de h, diverge pour d'autre et a un comportement tres "baroque" au alentour de 0...



sinon, pour le fh c'est constant par morcaux, donc aucun probleme avec l'intégrale de Rieman ! et il vaut mieux parceque c'est une question du concours d'entré de l'ENS et l'intégrale de Lebesque est completement hors programe^^

[invite4f5f4c42]

Ok je vois je me suis trompé. Mais si j'ai bien compris mon erreur j'ai alors trouvé une hypothèse assez faible.
Si g(h)= la série de 0 à l'infini de hf(hn) est uniformément convergente, et f intégrable on peut alors très bien appliquer la démonstration de Taar ce qui expliquerait de nombreuses choses. J'ai pensé à ça car je me suis dis que ce qui manquait à ma démonstration c'était une majoration uniforme du reste de la série.

[invite4ef352d8]

non je crois pas que la convergence uniforme de la seri soit suffisente.

mais j'avoue ne pas réussit a trouver de contre exemple ou on ai convergence de la somme des h*f(nh) qu'elle que soit h...

si qqn as une démonstration complete et rigoureuse de cela ou un contre exemple, ca m'interesse ^^

[invite4f5f4c42]

car j'ai choisis g définis par uniformément convergente. ensuite on faite la meme chose que Taar mais sauf que l'intégrale intermédiaire dont il se sert disparait. Ca change pas grand chose car dans sa méthode les h finissait toujours par se compenser

[invite4ef352d8]

effectivement oui, si on suppose f intégrable et la somme h*f(nh) uniformement convergente on obtiens la majoration du reste de l'intégral avec f intégrable et du reste de la somme comme tu la fait donc il y a pas de raison de pas pouvoir refaire la démonstration de Taar. (faudrat quand meme regarder dans les détails, mais bon)

ceci dit si on supose la somme h*f(nh) uniformement convergente, on a directement l'existence d'une limite en 0... et il y a donc peut-etre une démonstration plus simple utilisant ceci. (autant j'imagine bien que ca puisse ne pas converger du tous autant, je le vois tres mal converger vers autre chose que l'intégrale...)