révisions

[invite13e0016f]

Bonjour,

pour nos révisions, le prof de maths nous a donné une liste d'exercice parmi lesquelles seront tirés ceux de l'examen.

Pourriez-vous me dire si mes résultats sont bons et m'aider pour ce que je n'arrive pas s'il vous plaît?

Je vais mettre ce que j'ai déjà fais puis j'en ajouterais par la suite.

Equations à dérivées partielles:

tous les d sont des d ronds
Résoudre les équations suivantes:

1) 2 df/dx -df/dy = 0 , poser u=x+y , v=x+2y
j'ai trouvé F(u,v)=g(v) donc f(x,y)=g(x+2y)

2) x df/dx + y df/dy = rac(x²+y²) , en polaire
j'ai trouvé F(r,teta)=g(r) donc f(x,y)=g(rac(x²+y²))

3)x² d²f/dx² + 2xy d²f/dxdy + y² d²f/dy² = 0 ,poser x=u , y=uv , x>0
à la fin , j'obtiens 2v dF/dv + u² d²F/du² + 2v(v-1) d²F/dv² =0 je ne sais pas comment résoudre cela. je pensais avoir fait une erreur mais j'ai reccommencé plusieurs fois et j'ai retrouvé pareil

Je n'ai pas le temps de tout mettre, je terminerai plus tard

Merci
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[invite13e0016f]

Voici la suite:

toujours dans le même exercice:

4) 2xy df/dx +(1+y²) df/dy = 0 , poser x=1/2 (u²+v²), v = y , x différent de y
Je suis arrivée à (2xy - y - y³)/(rac(2x+y²)) dF/du + (1+y²) dF/dv = 0
Je ne sais pas trop comment faire ensuite, je peux commencer par intégrer n'importe quelle des dérivées partielles en premier?

Intégrales multiples:

1) intégrale double sur D = {(x,y) € R² / x €[0,1], y€ [0,x]} de 1/((1+x²)(1+y²)) dxdy
Je n'ai pas du tout réussi

2) intégrale double sur D = {(x,y)€ R² / x€[0,pi], |y| <ou égal à sin(x)} de y² sin (x) dxdy}
Je trouve 3pi/8

3)intégrale double sur D ={(x,y)€R² / 0 <ou égal à x , y² +2x <ou égal à 1} de (x²+y²)dxdy
J'ai utilisé les coordonnées polaires et j'arrive à intégrale double de r² dr dteta mais je ne sais pas sur quels intervalles intégrer

4) intégrale triple de x²y³z dxdydz sur D={(x,y,z)€R³ / x€[0,1] , y€ [0,1] et z€[0,xy]}
Je trouve 1/60

5) intégrale triple de 1/(rac (x²+y²+z²)) sur D={(x,y,z) € R³ / x²+y²+z²€[1,4]}
J'ai utilisé les coordonnées sphériques et j'obtiens 4pi

6) intégrale triple de dxdydz/(1+x²z²)(1+y²z²) sur D = {(x,y,z)€ R³ / x€[0,1] , y€[0,1] et z positif ou nul}
En déduire la valeur de l'intégrale de 0 à +infini de (arctan (nt)/t)² dt

Je n'ai pas réussi non plus, je ne sais pas quel système de coordonnées utiliser

Merci