centre des masses et inertie

[invitee5ab7cdf]

bonjour à tous , j'ai une multitude de questions pour le calcul des moments d'inertie de certains solides

La première question est par rapport à l'exercice contenant le solide composé d'une hémisphère et d'un cylindre , on demande de démontrer que a/H > racine de 2 , comment le démontrer ?


La seconde question concerne la seconde page , je dois calculer l'inertie polaire du cylindre . Après avoir calculé Inertie en fonction de Z , j'ai voulu le faire en fonction de Y mais c pas possible , pourquoi ?

la troisième question est par rapport a la sphère en dessous du cylindre . J'ai voulu calculer l'inertie en fesant croitre une infinité de sphère , mais cela c'est conclu par un échec .. Pourquoi ?


La derniére question concerne la sphère creuse , je n'arrive pas a calculer son inertie , comment faire ?


Je tiens a vous signaler que les calculs d'inertie que nous fesont se font sans intégrales triples ou doubles

Je vous remercie d'avance à tous
Bon journée
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[invite71e3cdf2]

tu fais comment alors sans intégrales...

[invite8241b23e]

Salut !

J'ai supprimé tes pièces jointes au format pdf. Reposte-les au format .jpg STP, sinon, c'est vraiment lourd pour les utilisateurs !

[invite551c2897]

Bonjour.

La derniére question concerne la sphère creuse , je n'arrive pas a calculer son inertie , comment faire ?

S'il s'agit de l'inertie par rapport à un axe:
Inertie du cercle = mR^2
Inertie de la sphère creuse :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitece2661ac]

bonjour

envois une discription precise et puis on verra

[invitee5ab7cdf]

voila les Jpeg , ils sont mis dans l'ordre de mes questions

[invitece2661ac]

bonjour
desolé tes doc jpg ne veulent pas s'ouvrirent je ne sait pas pourquoi

[invitee5ab7cdf]

moderateur pourrais tu confirmer mes jpeg Por favor ?

[invitee5ab7cdf]

mes questions
sont toujours d'actualité

[invitece2661ac]

Bonsoir:

pour commencer desolé ni tes doc ni ce que tu veux ne sot claire mais quand meme je vais essaie de donner un coup de mais on se basant sur mes intuitions:

voila ce que j'ai compris on un cylindre de hauteur h et de rayon a qu 'est solidaire sur sa base inferieure avec un demi sphère de rayon a ça c'est notre solide. A ce solide est lie un repère tel que:
* Oz est l'axe du cylinre et O est confondu avec le centre de la sphère.
* (Ox,Oy) est situe dans le plan de la base inferieure du cylindre.
Question on doit chercher le centre de gravitè du solide soit G

Par raioson de symetrie G appartient à Oz ( Xg et Yg sont nulles) reste à determiner Zg.

Appliquant donc la proprietè du ccentre de gravitè d'un systeme:
M.Zg = M'.Zg' +M".Zg".......-e-
M: masse totale du solide et Zg centre de gravitè du solide
M': masse du 1/2 sphère et Zg' centre de gravitè du 1/2 sphère
M": masse du cylindre et Zg" centre de gravitè du cylindre

On peut aussi dire que l'ensemble est constitue du meme materiau et donc meme masse volumique rho: M = rho.V ; M' = rho.V ' et M" = rho.V"
donc -e- devient : V.Zg = V'.Zg' +V".Zg".......-e-
Pour V" = Pi.a^2.h et Zg" = h/2 ce sont des resultats evidents
reste V' et Zg':

V' = integ(dv) le choix de dv on va devise notre 1/2 shpère en rondelles d'epaisseur dz et de rayon r(z) tel que ( z^2 + r^2(z) =a^2)
et donc dv = Pi.r^2(z)dz et z varie de (-a) à 0.

V' = integ(dv) = integ [ Pi.r^2(z)dz] = integ [ Pi.(a^2 - z^2)dz]
avec z varie de (-a) à 0 on trouve : V' = (2.Pi.a^3)/3

resultat d'ailleur connu mais c'est pour montrer tout simplement le choix de l'element de volume qu'on va utiliser pour le calcul de Zg':

V'.Zg' = inetg(zdv) = integ[ Pi.z.(a^2 - z^2)dz] z varie de (-a) à 0
V'.Zg' = -(Pi.a^4)/4

et donc Zg' = -(3.a)/8

V.Zg = V'.Zg' +V".Zg".......-e-

V = V' + V " = Pi.h.a^2 + (2.Pi.a^3)/3 = Pi .a^2 .[h + 2.a/3]
V'.Zg' = -(Pi.a^4)/4
V".Zg" = (Pi.a^2.h^2)/2

l'equation -e- devient : [h + 2.a/3].Zg = -a^2/4 + h^2/2

la condition sur Zg il doit etre positif ( c'est ce que je pense)

et donc : 2.h^2 > a^2 donc a/h < racine de (2)
pour les autres questions j'y pense mais ce n'est pas claire

[invitece2661ac]

Pardon c'est on vous impose que le solide ne tambe pas alors G ( ou le poids) doit se trouver sur la surface d'appuis et donc Zg doit etre negative( G est situe sur le 1/2 sphère) dans ce cas on doit trouver : -a^2/4 + h^2/2 < 0

ce qui donne (a/h) > racine (2)

[invitece2661ac]

bonjour:

Pour le deuxieme pb il s'agit d'un cylindre plein de rayon a et de hauteur h.
on lie au point G ( centre de gravité du cylindre) un repere R a ce cylindre :
* Gz est confondu avec l'axe du cylindre
* ( Gx; Gy) est contenu dans la section droite de centre G.

Donc G est situe sur z=0 ( Gest confondu avec l'origine du repere R)

On cherche :
Igx = rho.integ( y^2 +z^2)dv.........-1-
Igy = rho.integ( x^2 +z^2)dv.........-2-
Igz = rho.integ( x^2 +y^2)dv ........-3-

avant de develloper les calculs faisons qques remarques:
* l'effet de la rotation de la masse autour de Gx est le meme que celui autour de Gy: alors integ(x^2)dv = integ(y^2)dv......-4-

* Aussi x^2 +y^2 = r^2.........-5-

-5- ; -4- et -3- impliques que:
Igz = rho.integ( x^2 +y^2)dv = rho.integ( r^2 )dv = 2.rho.integ(x^2)dv
et donc on conclu que:
Igx = rho.integ(z^2)dv + Igz/2.........-1'-
Igy = rho.integ(z^2)dv + Igz/2.........-2'-
Igz = rho.integ( x^2 +y^2)dv = rho.integ( r^2 )dv ........-3'-

le probleme devient donv le calcul de : I1=integ( r^2 )dv et I2=integ( z^2 )dv

Comme tu imposes de ne pas utiliser les integrales double et triples implique il faut faire un choix judicieux pour chaques integrales I1 et I2.

Remarque d'ordre generale: Si on a I = integ( f.dv) avec f une fonction qque dependant du point courant: le choix de dv peut etre qque a condition que f soit constante dans cet element dv

donc pour notre cas:
I1=integ( r^2 )dv n peut choisir dv comme on veut a condition que la variable r ne varie pas; donc on va choisir un tube de hauteur h, de rayon interieur r et d'epaisseur dr( ou de rayon exterieur r +dr) le volume de ce tube est dv = 2.Pi.r.dr.h = 2.h.Pi.r.dr

I1=integ( r^2 )dv = 2.h.Pi.integ(r^3dr) = (Pi.h.a^4)/2
donc Igz = rho.I1 =(m/V).I1= (m/Pi.a^2.h).(Pi.h.a^4)/2 = (m.a^2)/2

pour I2=integ( z^2 )dv choix de dv tel que z ne varie pas ; On decompose alors le cylindre en rondelles d'epaisseur dz alors dv = Pi.a^2.dz
et donc : I2=integ( z^2 )dv = Pi.a^2.integ( z^2 )dz = (Pi.a^2.h^3)/12

Igx = Igy = rho.I2 + Igz/2= (m/Pi.a^2.h).(Pi.a^2.h^3)/12 +ma^2/4
= mh^2/12 +ma^2/4

[invitece2661ac]

bonjour :
Et enfin pour la sphère creuse( rayon interieur a et rrayon exterieur b) son centre de gravitè est confondu avec son centre geometrique ça c'est evident quand aux moments d'inertie:

Igx = rho.integ( y^2 +z^2)dv.........-1-
Igy = rho.integ( x^2 +z^2)dv.........-2-
Igz = rho.integ( x^2 +y^2)dv ........-3-

Ici on a : rho.integ( x^2)dv = rho.integ( y^2)dv = rho.integ( z^2)dv car:

l'effet de la rotation de la masse autour de Gx est le meme que celui autour de Gy et aussi autour de Gz:

Igx = Igy = Igz = I


Donc : Igx + Igy + Igz = 3.I = 2.rho.integ( x^2 +y^2 +z^2)dv

Or r^2 = x^2 +y^2 +z^2

Alors : 3.I =2. rhoinetg(r^2)dv

donc on doit prendre un dv dans lequel r ne varie pas soit une sphère creuse de rayon inter r et d'epaisseur dr ( ou de rayon exter r + dr) le volume de ccet element est :
dv = (4.Pi.r^2)dr 4.Pi.r^2 etant la surface d'une sphère de rayon r

3.I = 2.rho.inetg(r^2)dv = 8.Pi.rho.inetg(r^4.dr)

differents cas:
* sphère plein de rayon a (r varie de 0 à a):
3.I = 8.Pi.rho.inetg(r^4.dr)= (8.Pi.rho.a^5)/5
or : rho = m/ V = 3.m / (4.Pi.a^3) car V = 4.Pi.a^3/3

et donc : 3.I = [(8.Pi.a^5)/5].3.m / (4.Pi.a^3) = 6.m.a^2/5

finalement : Igx = Igy = Igz = I = (2.m.a^2)/5

Aussi Io = rho.integ( x^2 +y^2 +z^2)dv = 3I/2 = (3.m.a^2)/5

* Pour une sphère creuse (r varie de a à ab):
3.I = 8.Pi.rho.inetg(r^4.dr)= [(8.Pi.rho.)/5].(b^5 - a^5)
or : rho = m/ V avecV = 4.Pi.(b^3/3 - a^3/3)