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Variété différentiable



  1. #1
    invité576543
    Invité

    Variété différentiable


    ------

    Bonjour,

    Dans ce que je lis, il n'est pas clair si la notion de "variété différentiable" est une propriété de l'atlas ou une propriété de l'espace lui-même.

    En d'autres termes, existe-t-il des variétés topologiques qui ne peuvent pas être munies d'un atlas en faisant une variété différentiable? Si oui, quels exemples simples, pas trop pathologique, peut-on fournir, par exemple en 2D?

    Cordialement,

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    haciol

    Re : Variété différentiable

    Je ne suis pas sur de très bien comprendre ta question mais je peux te donner un exemple simple de courbe non différentiable: la courbe donnée par la fonction valeur absolue. Tu auras beau chercher, il n'y a pas d'atlas qui couvre cette courbe qui soit différentiable en zéro.

  4. #3
    invité576543
    Invité

    Re : Variété différentiable

    Citation Envoyé par haciol Voir le message
    Je ne suis pas sur de très bien comprendre ta question mais je peux te donner un exemple simple de courbe non différentiable: la courbe donnée par la fonction valeur absolue. Tu auras beau chercher, il n'y a pas d'atlas qui couvre cette courbe qui soit différentiable en zéro.
    Oui, mais cette courbe n'est pas une variété topologique, le voisinage de (0,0) sur cette courbe n'est pas homéomorphe à un ouvert de R, par exemple.

    Cordialement,

  5. #4
    invité576543
    Invité

    Re : Variété différentiable

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Oui, mais cette courbe n'est pas une variété topologique, le voisinage de (0,0) sur cette courbe n'est pas homéomorphe à un ouvert de R, par exemple.
    J'ai dit une bêtise, j'avais, je ne sais pourquoi, cru lire "partie entière".

    Ce message et le précèdent peuvent être effacés, avec bénéfice.

    Cordialement,
    Dernière modification par invité576543 ; 22/12/2008 à 17h31.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    invité576543
    Invité

    Re : Variété différentiable

    Citation Envoyé par haciol Voir le message
    Je ne suis pas sur de très bien comprendre ta question mais je peux te donner un exemple simple de courbe non différentiable: la courbe donnée par la fonction valeur absolue. Tu auras beau chercher, il n'y a pas d'atlas qui couvre cette courbe qui soit différentiable en zéro.
    Je ne comprends pas pourquoi. La fonction qui à x associe (x, |x|) est un homéomorphisme entre R et la courbe (x, |x|). On a donc un atlas d'une seule carte, donc la courbe est nécessairement une variété différentiable, non?

    Cordialement,

  8. #6
    Garnet

    Re : Variété différentiable

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Je ne comprends pas pourquoi. La fonction qui à x associe (x, |x|) est un homéomorphisme entre R et la courbe (x, |x|). On a donc un atlas d'une seule carte, donc la courbe est nécessairement une variété différentiable, non?

    Cordialement,
    Oui, tout à fait la courbe valeur absolue peut être munie d'une structure difféormorphe à , mais ce n'est pas une sous variété de .

    Pour des espaces topologiques qui ne peuvent pas être des sous variétés, il y a :
    - Les espaces qui n'ademettent de base de voisinages homéomorphes à : l'union de deux droites sécantes, , etc...

    - Les espaces qui admettent des bases de voisinages homéomorphes à , mais pour des différents : l'union disjointe d'une droite et d'une plan (un exemple connexe ne me vient pas à l'esprit...)

    Des contres exemples qui n'entrent pas dans ces deux catégories, il faut chercher plus loin...

    Cordialement

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  10. #7
    invité576543
    Invité

    Re : Variété différentiable

    Citation Envoyé par Garnet Voir le message
    Pour des espaces topologiques qui ne peuvent pas être des sous variétés, il y a :
    - Les espaces qui n'ademettent de base de voisinages homéomorphes à : l'union de deux droites sécantes, , etc...
    Non seulement pas une sous-variété, mais pas une variété non plus, non?

    - Les espaces qui admettent des bases de voisinages homéomorphes à , mais pour des différents : l'union disjointe d'une droite et d'une plan (un exemple connexe ne me vient pas à l'esprit...)
    Il me semble que la définition usuelle de variété exclut ces espaces là, non?

    Cordialement,

  11. #8
    invité576543
    Invité

    Re : Variété différentiable

    Je reviens sur cette question restée sans réponse, en prenant un autre angle.

    Soit une variété de dimension 2, avec un atlas d'une seule carte (x, y). Le champ (x, y) --> z=2x si x<0 et z=x si x≥0 n'a pas de différentielle (gradient) sur la ligne x=0. J'imagine qu'on peut dire que "ce n'est pas un champ différentiable". Maintenant, la même variété peut être munie de l'atlas d'une seule carte (z, y). Avec cette carte, le champ précédent devient (z, y) --> z, et est différentiable.

    Si cela est juste, cela implique que "champ différentiable" n'est pas une propriété intrinsèque à la variété et au champ, mais une propriété relative au système de coordonnées, à l'atlas. Me trompe-je?

    Et si je ne me trompe pas, il me semble normal de généraliser en disant que "différentiable" est une notion relative à un atlas, et donc que lorsqu'on parle de "variété différentiable", on parle du couple (variété, atlas), et non pas de la variété en elle-même.

    Est-ce correct?

    Cordialement,

  12. #9
    Garnet

    Re : Variété différentiable

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Je reviens sur cette question restée sans réponse, en prenant un autre angle.

    Soit une variété de dimension 2, avec un atlas d'une seule carte (x, y). Le champ (x, y) --> z=2x si x<0 et z=x si x≥0 n'a pas de différentielle (gradient) sur la ligne x=0. J'imagine qu'on peut dire que "ce n'est pas un champ différentiable". Maintenant, la même variété peut être munie de l'atlas d'une seule carte (z, y). Avec cette carte, le champ précédent devient (z, y) --> z, et est différentiable.

    Si cela est juste, cela implique que "champ différentiable" n'est pas une propriété intrinsèque à la variété et au champ, mais une propriété relative au système de coordonnées, à l'atlas. Me trompe-je?

    Et si je ne me trompe pas, il me semble normal de généraliser en disant que "différentiable" est une notion relative à un atlas, et donc que lorsqu'on parle de "variété différentiable", on parle du couple (variété, atlas), et non pas de la variété en elle-même.

    Est-ce correct?

    Cordialement,
    Je vois ce que tu veux dire. Ton champ est dérivable a travers une carte mais pas à travers l'autre.
    Et je revient à ta question initiale :

    Dans ce que je lis, il n'est pas clair si la notion de "variété différentiable" est une propriété de l'atlas ou une propriété de l'espace lui-même.
    Pour une "varité différentiable" par définition c'est un espace muni d'un atlas et dont les changements de cartes sont difféomorphes. Ces cartes définissent la structure différentiabilité et tu n'as pas le droit de changer cette structure, c'est-à-dire que si tu décide de te mettre dans une carte il faut t'assurer qu'elle soit compatible (c'est comme pour un espace topologique: si tu travaille avec , alors c'est sous-entendu que tu travaille avec la topologie usuelle de . Et si tu travaille avec un espace topologique abstrait , tu ne prends pas une autre topologie même si on ne te dis pas explicitement quel est l'ensemble des ouverts)

    Donc je dirais que la différientiabilité dépend intrinsequement de la variété différentiable, car l'atlas est inclus dans la donnée.

    En ce qui concerne une variété tout court, sauf mention contraire c'est une variété -différentiable.

    J'espère avoir répondu à ta question.

    Cordialement.

  13. #10
    invité576543
    Invité

    Re : Variété différentiable

    Citation Envoyé par Garnet Voir le message
    Pour une "variété différentiable" par définition c'est un espace muni d'un atlas et dont les changements de cartes sont difféomorphes.
    Oui, pour "variété différentiable".

    Ton champ est dérivable a travers une carte mais pas à travers l'autre.
    Tu confirmes donc l'idée. Et c'est assez troublant, dans ses applications à la physique...

    En ce qui concerne une variété tout court, sauf mention contraire c'est une variété -différentiable.
    Ce n'est pas la définition que je trouve couramment, qui définit "variété" par la condition qu'il existe n tel qu'en tout point existe un voisinage homéomorphe à un ouvert de Rn. (Plus d'autres conditions comme à base dénombrable par exemple.)

    Ma question d'origine reste, qui est si toute variété (définie comme ci-dessus) peut être munie d'un atlas qui en fait une variété différentiable.

    Cordialement,

  14. #11
    invité786754634567890

    Re : Variété différentiable

    " La notion de différentiable " est bien entendu liée à l'atlas, puisque ce sont les changements de cartes de l'atlas qui sont différentiables. La régularité est propre à l'atlas et l'on peut imaginer munir une variété topologique de plusieurs atlas, de regularité différente.

    Par ailleurs, pour éviter les confusions, la terminologie est claire : quand on parle de variété, il s'agit de variété différentiable voire C^infini (pour faire du calcul diff sur les variétés, on a vraiment pas envie de s'emmerder avec la régularité des changements de cartes). Et lorsque l'atlas n'est pas différentiable, on précise variété topologique.

    Enfin, pour revenir à la question initiale : est ce qu'il existe une variété topologique ne pouvant pas être muni d'une structure de variété différentiable ? la question me semble être compliquée à résoudre. Il faudrait trouver une variété topologique M dont on puisse montrer que tout atlas sur M admet au moins un changement de carte non différentiable...

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