salut
g un etit exercice sur lquel je suis vraiment bloqué:
soit f et g 2 endomorphismes tq:
f+g=Id et rg f +rg g = dim E
Mt que f et g sont des projectteurs complémentaires
on doit mt d'abord que:f²=g²=0 et g pas trouver
et comment montrer que deux applications sont supplémentaires?!!
je ne connais que la déf de la supplémentarité de 2 ev..
merci d'avance.
svp c urgent..
A premiere vu j'essairai d'obtenir que
dim E =dim (ker f) + dim (ker g)
puis je montrerais que
j'essairai ensuite d'obtenir f²=f et g²=g
g trouvé la première à l'aide du théorème du rang mais la deuxième.???
oui g trouvé la deuxième.. mais la troisième??
Envoyé par littlegirl
Il faut montrer que
f²=f
g²=g
et
f°g=g°f=0
F et g sont deux projecteurs complementaires si f est la projection de sur F parellelement a G et g est la projection sur G parallelement a F.
La premiere hypothese te donne, la deuxieme te donne
je te laisse finir.
Cordialement.
En continuant avec la premiere méthode , on aboutit egalement
en travaillant sur les deux espace ker f et ker g
merci tt le monde mais..
pour garnet :
je sais pas comment vous avez déduit de la deuxième hypothèse la somme directe...
pour antho..
g fait les 2 premières étapes et je suis bloqué pr la troisième..
merci infiniment tt le monde..
on regarde separemment ce qui se passe sur ker f et sur ker g.
Apres on aura ce qui se passe sur tout E puisque E=ker g+ker f
c compris donc la supplémentarité facilite la tâche
mais g une dernière question
coment vous avez eut l'idée dès le départ de montrer ceci??
On nous demande de montrer que f et g sont deux projections complementaire.
Il nous faut deux sous-espace supplémentaire.
bah on a pas trop le choix
ker f , ker g sont assez naturels
(ou im f, im g mais ici im g=ker f, ker g=im f)
