Probabilités indépendantes, nom du paradoxe ?

[herman]

Bonjour,

Je ne parviens plus à retrouver les explications de proba stat pour résoudre ce paradoxe :

Nous lançons 100 fois une proba 0,5/0,5.

Nous faisons 100 fois cette série.

Nous calculons les sorties pour chaque série, une fois 50 lancés et 100 lancés effectué.

Nous obtenons des écart + important avec 50 lancés qu'avec 100 lancés.

Les lancés sont indépendants et pourtant la seconde moitié des 100 lancés ont toujours + tendance à faire tendre les probas vers 0,5/0,5 que vers autre chose.


Je sais que c'est un problème trivial que se pose les élèves en terminal mais je sais aussi que l'explication derrière est tout autre en terme de difficulté et je suis incapable aujourd'hui de me souvenir de ce que j'avais lu en faisant des recherches...

Bref un peu d'aide serait le bienvenu ^^.
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[herman]

Personne ?

[herman]

Si vous ne comprenez pas la question que je pose dites-le , je ne suis peut-être pas clair dans l'ennoncé de mon interrogation...

[invitea3eb043e]

Effectivement, je pense avoir une probabilité de compréhension inférieure à 50%.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea41c27c1]

Si ta question est de savoir mathématiquement pourquoi l'écart entre le nombre de piles et de faces est plus grand à 50 qu'à 100, la réponse est la suivante:

Soit le nombre de lancé et s tel que . Alors la probabilité pour que et vaut:



Et on remarque que pour et , cette probabilité tend vers quand .

Etait-ce que tu demandais?

[herman]

Non pas tout à fait, je vais reformuler.

Pour un pile ou face, lorsqu'on lance une pièce, chaque lancé est indépendant.
=> que ce soit le premier lancé ou le dernier, on a donc toujours 0,5 pour la coté pile et 0,5 pour le coté face.

Si nous effectuons 50 lancés, nous aurons une variance moyenne (ie la moyenne des variances de chaque SERIE de lancées) qui sera + importante que si nous effectuons des séries de 100 lancés
=> Ce point là correspond à la démonstration que tu viens de faire

Maintenant, plaçons nous au bout de 50 lancés. Les 50 lancés suivant devraient être indépendant et devraient donc avoir 0,5 pour le coté face et 0,5 pour le coté pile. Pourtant, la variance devrait se réduire.
=> On devrait donc avoir une série de lancés (du 51ème au 100ème) qui devraient tous avoir une proba de 0,5/0,5 mais pourtant la variance moyenne va se réduire.

Est-ce plus clair ?

Je visualise un peu la réponse mais pas avec un formalisme mathématiques rigoureux...

[invitea07f6506]

Si ta question est de savoir mathématiquement pourquoi l'écart entre le nombre de piles et de faces est plus grand à 50 qu'à 100, la réponse est la suivante:

Soit le nombre de lancé et s tel que . Alors la probabilité pour que et vaut:



Et on remarque que pour et , cette probabilité tend vers quand .

Etait-ce que tu demandais?

Fais le calcul, tu verras que cette probabilité tend vers 0...

Sinon, pour faire simple : soit X le nombre de piles tirés. Soit Y la proportion de piles tirés.
S'il n'y a qu'un seul lancer, l'espérance de X est 1/2, et sa variance est 1/4. Idem pour Y.
S'il y a n lancers (indépendants, de même loi), l'espérance de X est n/2, et son écart-type est sqrt(n)/2. Plus il y a de lancers, plus on a tendance à s'écarter de la moyenne (si on fait 1.000 lancers, on aura typiquement un excès ou un défaut d'une quinzaine de piles). Cependant, l'espérance de Y est 1/2, et son écart-type est 1/(2sqrt(n)). Plus il y de lancers, plus la proportion de piles tirés se concentre vers 1/2.

Pour plus d'informations, voir la loi des grands nombres.

Pour en revenir à ton paradoxe : quand l'on passe de 50 à 100 lancers, on divise le nombre de piles par 100, et non plus 50. L'excès ou le défaut de piles obtenus dans les 50 premiers lancers influe moins sur la proportion finale, et l'excès de piles dans les 50 lancers suivants étant en moyenne nul...

[herman]

Pour en revenir à ton paradoxe : quand l'on passe de 50 à 100 lancers, on divise le nombre de piles par 100, et non plus 50. L'excès ou le défaut de piles obtenus dans les 50 premiers lancers influe moins sur la proportion finale, et l'excès de piles dans les 50 lancers suivants étant en moyenne nul...

Si l'excès des 50 lancers suivants est nul, on reste globalement sur un excès (car il y a un excès sur les 50 premiers lancers).

Pourtant on sait qu'en moyenne, on va converger vers 1/2 donc en moyenne, dans cet exemple, on devrait avoir 50 nouveaux lancers avec un défaut de piles.

[invitea07f6506]

Nah.

Supposons que l'on ait, disons, 25+p piles dans les 50 premiers lancers. L'excès de piles est de p, la proportion de piles de 0,5+p/50.
Si l'on a 25+q piles dans les 50 lancers suivants, l'excès de piles est de p+q, et la proportion de piles après 100 lancers est de :


La contribution des 50 premiers lancers à l'excès de piles est donc divisée par deux. En général, on va donc avoir tendance à se rapprocher un peu de 1/2. Et on peut se rapprocher de 1/2 même si on a un excès de piles dans les 50 premiers lancers et dans les 50 suivants !
Par exemple, si l'on a 30 piles dans les 50 premiers lancers, et 28 dans les 50 suivants. Après 50 lancers, la proportion de piles est de 0,6 ; après 100 lancers, elle n'est que de 0,59.

[herman]

Oui en effet.

Je crois que là j'avais tout simplement une erreur de raisonnement affligeante, j'ai beau chercher mon soucis n'est pas + compliqué que ça.

Ca m'ammène à penser (là je vais me raccrocher aux branches attention ^^) que mon prof de maths de terminal, qui était agrégé, faisait la même erreur de raisonnement que moi... A moins que là encore mon cerveau me joue des tours mais sinon il y aurait aussi une erreur dans cette phrase (qui vient donc de la bouche de ce prof) :
"Statistiquement, il vaut mieux jouer les numéros du loto qui sont tombés le moins souvent car ils doivent tous tendre, à terme, au même %".
Effectivement la première partie de la phrase est fausse... même si ce n'est pas textuellement la phrase (qui date presque de 3 ans), le raisonnement était le même.