On s'interesse à une fonction U: x->U(x) discrétisée (avec un pas constant) sur son ensemble de définition (U1=U(x1);U2=U(x2);...Un=U(xn) ) et je cherche à exprimer la dérivée quatrième de U en le point xi en fonction des valeurs U1;U2;...U(i-1);Ui;U(i+1);...U(n)
Pouvez vous m'aider ?
L'idée serait de trouver une combinaison de u(n) , u(n+1), u(n+2) etc.. telle que la formule de la dérivée quatrième soit rigoureuse quand la dérivée quatrième est constante, par exemple x^4.
Exemple : la dérivée seconde et la fonction x² :
(x+2h)² = x² + 4 h x + 4 h²
(x+h)² = x² + 2 hx + h²
x² = x²
On voit que si on prend 2 f(x+h) - f(x) - f(x+2h) on trouve - 2 h² qui est la dérivée seconde, ce qui résulte par ailleurs du théorème de Taylor.
Ca se généralise aux puissances 3 ou 4. En mettant les bons coefficients on arrive à éliminer les termes en x^4, x^3, x^2, etc... Reste le terme en h qui est la dérivée 3 ou 4, selon le degré. On identifie par Taylor.
C'est l'idée que j'avais suivi au début et on trouve effectivement avec la formule de Taylor les termes que vous citez.
On trouve donc cela en appliquant notre formule à l'ordre 4. Ensuite mon équation contient une dérivée seconde de U puis-je la la linéariser en appliquant la formule de Taylor à l'ordre 2 ou dois-je nécessairement utiliser l'ordre 4?
Je crois qu'il faut écrire la relation à l'ordre 4 sinon on se prend les pieds dans des infiniment petits dont on ne sait plus l'ordre.
ok j'ai pas trés envie de faire les calculs mais l'ordre 4 me permet d'avoir le bon résultat à coup sûr. Merci beaucoup.
