Besoin d'aide pour une limite

[invite6d981fcb]

Bonjour

J'ai une limite à chercher et j'ai beau l'écrire de diverses manières, je trouve à chaque fois une forme indéterminé. Il doit exister une technique que je ne connais pas pour l'enlever ou à laquelle je n'ai pas pensé.

lim de f(x) quand x tend vers l'infini
f(x) = (x-1)*exp^(1/(x+1))-x

Si quelqu'un veut bien m'aider. Je trouve infini - infini et 0 à la calculette
Merci d'avance
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[invitee53284f6]

En faisant un développement limité à l'ordre 1 de exp^u où u = 1/(x+1) ça s'arrange pas mal

[invite6d981fcb]

En faisant un développement limité à l'ordre 1 de exp^u où u = 1/(x+1) ça s'arrange pas mal

Je suis en 1ère année de BTS et je n'ai pas encore vu les développements limités en maths. Je crois que c'est pour le 2ème semestre. Donc faut se débrouiller autrement.

[invitee53284f6]

En démontrant proprement je vois pas trop, mais on voit bien que exp^1/(x+1) tend vers 1 et que x-1 tend vers x, donc la limite en l'infini est nulle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

Salut.

lim de f(x) quand x tend vers l'infini
f(x) = (x-1)*exp^(1/(x+1))-x

En posant (soit ) on a

Quand tend vers l'infini, tend vers . La limite cherchée est donc

ce qui se calcule sans problème si l'on connait .

[invite551c2897]

Bonjour.
x--> + inf --> exp(1/(x+1)) --> 1+1/(x+1)
et
f(x) --> (x-1)(1+1/(x+1))-x --> x-x --> 0

[invite7eb38865]

Bonjour.
x--> + inf --> exp(1/(x+1)) --> 1+1/(x+1)
et
f(x) --> (x-1)(1+1/(x+1))-x --> x-x --> 0

C'est utiliser sans le dire les DLs, ça

Une autre solution, moins élégante mais plus facile et intuitive peut être, est de considerer le logarythme de la fonction. (en fait, il faut regarder "ln[ -f(x)]" car elle devient négative). Il tend vers -ln (x) donc, vers moins l'infini. Par composition de fonctions continues, on a le résultat :]

[invite6d981fcb]

Bonjour.
x--> + inf --> exp(1/(x+1)) --> 1+1/(x+1)
et
f(x) --> (x-1)(1+1/(x+1))-x --> x-x --> 0

tu dis que x-x --> 0 hors c'est pas possible pour moi car infini moins infini c'est indéterminé et pas 0.

pakm --> tu as oublié le - x sinon ce que tu dis est vrai. et je vois pas comment tu peux dire que le produit de 1*infini vaut 0 car c'est infini

lim f(x) ça donne infini*1-infini.

Flyingsquirrel --> j'aime ta technique ^^

Falcry --> c bizarre comme tecnique ^^

[invitee53284f6]

tu dis que x-x --> 0 hors c'est pas possible pour moi car infini moins infini c'est indéterminé et pas 0.

C'est indéterminé quand on a deux termes différents qui tendent vers l'infini, mais x-x sera toujours égal à 0 quelle que soit la valeur de x

pakm --> tu as oublié le - x sinon ce que tu dis est vrai. et je vois pas comment tu peux dire que le produit de 1*infini vaut 0 car c'est infini
lim f(x) ça donne infini*1-infini.

J'ai pas détaillé, mais en clair je dis que l'exponentielle tend vers 1 et que x-1 tend vers x, donc (x-1)*exp^1/(x+1) tend vers x, et alors f(x) tend vers x-x, qui est égal à 0 pour la même raison qu'au dessus. Par contre si tu fais cette démo je sais pas si t'auras les points

Flyingsquirrel --> j'aime ta technique ^^

Ca au moins c'est propre!
Par contre pour justifier que
il faudrait encore se servir d'un développement limité ou de quelque chose de semblable, vu que je doute que vous soyiez censés connaître cette limite.

Falcry --> c bizarre comme tecnique ^^

Je dois avouer ne pas avoir compris comment Falcry s'en sort avec ln(-f(x)), ça serait sympa si tu pouvais donner plus de détails

[invite551c2897]

f(x) --> (x-1)(1+1/(x+1))-x --> x-x --> 0

Cette expression est la valeur de f(x) quand x devient très grand !
Donc elle tend vers 0

[Flyingsquirrel]

Par contre pour justifier que
il faudrait encore se servir d'un développement limité ou de quelque chose de semblable, vu que je doute que vous soyiez censés connaître cette limite.

Si la limite n'est pas connue on peut remarquer que est, par définition, la valeur de la dérivée de l'exponentielle en 0.

[invite6d981fcb]

ok je comprend mieux pourquoi vous trouvez 0.

En fait dans mon exo, la fonction c'est
f(x) = (x-1)*exp^1/(x+1)

Le but c'est d'étudier les branches :
Comme les limites quand x tend vers -infini et + infini valent l'infini c'est qu'il y a une asymptote oblique et il faut que je trouve sa formule.
donc j'ai fais lim f(x)/x et j'ai eu 1.
C'est pour ça que je dois faire maintenant
lim [f(x)-ax] quand x tend vers infini.

Si c'est 0 la réponse alors l'asympote c'est y=x et ça correspond sur le graph.

Mais voilà pour moi infini moins infini c'est indéterminé mais si vous dites que c'est le même x et que ça vaut donc 0 alors ça me suffit.

[invite7eb38865]

No soucy :]

Alors, on voit assez bien que f devient négative quand x est très grand :
L'exponentiel étant proche de 1. C'est pour cela qu'on prendre -f(x) ensuite. :]

Quand je vois des limites qui semblent tendre vers 0 ou vers 1, j'avais pris l'habitude, en terminale, de considerer le log !

Voila pour les idées globales. En pratique, ca donne :
Pour x suffisement grand :

ln[-f(x)] = ln [ (1-x)*exp(1/(x+1) +x]
soit ln[-f(x)] = -ln(x) + ln[ (1/x) *(1-x)*exp(1/(x+1)) +1] j'ai juste divisé par x non nul

On regarde (1-x)/x : tend vers -1+ en l'infini.
le ln[ (1/x) *(1-x)*exp(1/(x+1)) +1] tend donc vers - l'inf, comme le -ln(x)
donc, ln(-f(x)) tend vers moins l'infini.

comme notre fonction est continu dès que x est assez grand, on peut composer par l'exponentiel, pour obtenir la limite qui nous interessait.

J'crois pas avoir fait une boulette, mais bon, j'y ai pas passé deux heures non plus )

Et les DLs, c'est quand même beaucoup plus élégant :]

[invite6d981fcb]

No soucy :]

Alors, on voit assez bien que f devient négative quand x est très grand :
L'exponentiel étant proche de 1. C'est pour cela qu'on prendre -f(x) ensuite. :]

Quand je vois des limites qui semblent tendre vers 0 ou vers 1, j'avais pris l'habitude, en terminale, de considerer le log !

Voila pour les idées globales. En pratique, ca donne :
Pour x suffisement grand :

ln[-f(x)] = ln [ (1-x)*exp(1/(x+1) +x]
soit ln[-f(x)] = -ln(x) + ln[ (1/x) *(1-x)*exp(1/(x+1)) +1] j'ai juste divisé par x non nul

On regarde (1-x)/x : tend vers -1+ en l'infini.
le ln[ (1/x) *(1-x)*exp(1/(x+1)) +1] tend donc vers - l'inf, comme le -ln(x)
donc, ln(-f(x)) tend vers moins l'infini.

comme notre fonction est continu dès que x est assez grand, on peut composer par l'exponentiel, pour obtenir la limite qui nous interessait.

Avec ta méthode j'arrive à trouver 0 ^^
merci beaucoup

Merci à tous pour avoir réfléchi sur mon problème !!