Bonjour,
A votre avis, puis-je déduire qu'une affinité du plan A2 conservant la direction de nimporte quelle droite est d'office une translation ?
Je ne suis pas sûr de ça, même si je devrais étant donné le niveau que je suis sensé avoir, mais je n'y peux rien si l'étude des affinités ont un peu été négligées dans mes cours de géométrie
merci
Non. Sa composante linéaire laisse les droites vectorielles invariantes ; c'est une translation ou une translation composée avec une symétrie centrale.
Zut j'oubliais les symétries centrales.
Aurais-tu une idée de preuve ?
merci
En fait, j'oubliais des solutions : il y a toutes les homothéties non nulles, plus un translation.
Soit f une telle fonction affine. Pour tout point x du plan, f(x)=Ax+y.
f conservant la direction de toutes les droites affines, f-y aussi. En particulier, f-y conserve la direction de toutes les droites vectorielles.
Donc A conserve la direction de toutes les droites vectorielles.
En particulier, la matrice de A dans la base canonique est diagonale, et n'a pas de 0 sur sa diagonale. De plus, elle n'a qu'une seule valeur propre (il suffit de regarder l'image, par exemple, de la somme des vecteurs de la base canonique).
Donc A est une homothétie, et y est quelconque.
Je te laisse vérifier que, réciproquement, toute fonction f de cette forme convient.
Okido, merci beaucoup
