Equations aux Dérivées Partielles (EDP)

**manos59** · 04/01/2009, 13h07

Bonjour,

Je dois résoudre analytiquement l'équation de schrödinger linéaire, donnée sous la forme suivante :

iU(x,t),t-U(x,t)],xx=0 ou idU(x,t)/dt-d^2U(x,t)/dx^2=0

i désigne un nombre complexe.

avec les conditions

1. aux limites : U(a,t)=0; U(b,t)=0 (conditions de dirichlet, a borne inférieure et b borne supérieure --> [a,b]

2. initiale : U(x,0)=U0(x)

J'ai utilisé la méthode de séparation des variables en posant :
U(x,t)=z(x)*v(t)

En remplaçant dans l'EDP je trouve :
iz(x)v'(t)-v(t)z''(x)=0

soit iv'(t)/v(t)=K=z''(x)/z(x) = 0

Je trouve deux équations :
iv'(t)/v(t)=K --->v'(t)/v(t)=-i*K*t
la solution est : v(t)=C*exp(-i*k*t) où C et K sont des constantes

La condition initiale U(x,0)=U0(x) j'ai U(x,0)=U0(x)z(x)=C
donc
----------------------------------
v(t)=U0(x)*z(x)*exp(-i*k*t)
----------------------------------

La deuxième équation me donne :

z'(x)-Kz(x)=0 et je trouve après résolution :

--------------------------------------
z(x)=A*exp(-K*x)+B*exp(K*x)
--------------------------------------

Je peux donc réécrire v(t) et U(x,0)
v(t) = U0(x)*(A*exp(-K*x)+B*exp(K*x))*exp(-i*K*t)
U(x,0) = U0(x)*(A*exp(-K*x)+B*exp(K*x))

Après je bloque, je n'arrive pas à déterminer les constantes A et B avec les conditions aux limites de Dirichlet (U(a,t)=U(b,t)=0).
Pouvez-vous m'aider s'il vous plait? Merci d'avance pour vos réponses.

invite7eb38865 · 04/01/2009, 13h20

J'ai juste lu le début.
v(t) dépend de x? ^^"

Sinon, pour la constante de v, tu peux choisir 1, par exemple. comme u est le produit de deux fonctions z et v, tu retrouveras ta constante dans z (ca fait toujours une chose de moins à trouver ^^)

**manos59** · 04/01/2009, 13h23

j'ai posé U(x,t)=v(t)*z(x) avec la techniue des variables séparables que je ne maîtrise pas encore mais à mon avis v ne dépend que de la variable t.

**krikor** · 04/01/2009, 13h26

Bonjour

Une remarque pour la deuxième équation:z'-kz=0

z'/z=k; ln(z/c)=kx; z(x)=c*e^(kx)

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**manos59** · 04/01/2009, 13h33

Envoyé par krikor

Bonjour

Une remarque pour la deuxième équation:z'-kz=0

z'/z=k; ln(z/c)=kx; z(x)=c*e^(kx)

Exusez-vous moi il manque un ' dans l'équation 2 c'est bien :

z''(x)-Kz(x)=0 qui donne la solution z(x)=Aexp(-Kt)+Bexp(Kt)

invite7eb38865 · 04/01/2009, 13h39

Effectivement, v ne doit dépendre que de t.
D'où mon "étonnement" quand tu dis v(t)=U0(x)*z(x)*exp(-i*k*t)

Et bonne remarque de Krikor :]
Repose plus doucement tes calculs, en gardant le sens physique, je pense que tu y arriveras sans soucis. Tu te lances surtout un peu vite dans des lignes de calculs sans prendre le temps ni le recul dessus !

**manos59** · 04/01/2009, 13h52

je recommence pour formuler plus clairement mon problème.

Il s'agit de résoudre analytiquement l'équation de schrödinger linéaire, donnée sous la forme suivante :

iU(x,t),t-U(x,t)],xx=0 ou idU(x,t)/dt-d^2U(x,t)/dx^2=0

i désigne un nombre complexe.

avec les conditions

1. aux limites : U(a,t)=0; U(b,t)=0 (conditions de dirichlet, a borne inférieure et b borne supérieure --> [a,b]

2. initiale : U(x,0)=U0(x)

J'ai utilisé la méthode de séparation des variables en posant :
U(x,t)=z(x)*v(t)

En remplaçant dans l'EDP je trouve :
iz(x)v'(t)-v(t)z''(x)=0

soit iv'(t)/v(t)=K=z''(x)/z(x) = 0

Je trouve deux équations :
iv'(t)/v(t)=K --->v'(t)/v(t)=-i*K*t
la solution est : v(t)=C*exp(-i*k*t) où C et K sont des constantes

----------------------------------
v(t)=C*exp(-i*k*t)
----------------------------------

La deuxième équation me donne :

z''(x)-Kz(x)=0 et je trouve après résolution :

--------------------------------------
z(x)=A*exp(-K*x)+B*exp(K*x)
--------------------------------------

Comment déterminer les constantes C, A, B à partir des conditions initiales et aux limites U(a,t)=0, U(b,t)=0 et U(0,t)=U0(x)?

invitea41c27c1 · 04/01/2009, 14h02

Attention ici

z''(x)-Kz(x)=0 qui donne la solution z(x)=Aexp(-Kt)+Bexp(Kt)

Ce n'est pas $\text{[math]}$ , mais $\text{[math]}$ dans les exponentiels (A noter que $\text{[math]}$ est complexe puisqu'on est avec l'équation de Schrödinger).

invite7eb38865 · 04/01/2009, 14h08

Déjà, tu remplaces C par 1, et A et B par A'=A/C et B'=B/C.

On a déjà reglé le sort d'une constante sans trop se prendre la tête \o/

A t=0, V(0)=1 (merci qui? ^^)
Donc, U(0,x)=1*z(x) =A'*exp(-sqrt(K)*x)+B'*exp(sqrt(K)*x) = U0(x).

autre information, quelque soit t, on a z(a)=z(b)=0.

Au final, ca fait trois equations (pas forcement chouettos, je l'admet), 3 inconnues (A',B',K). Ca se trouve

invitea41c27c1 · 04/01/2009, 14h39

Tu peux supposer $\text{[math]}$ , car il suffit d'écrire
$\text{[math]}$
avec $\text{[math]}$ . Donc il te reste que deux constantes.

Tu t'es trompé ici

La condition initiale U(x,0)=U0(x) j'ai U(x,0)=U0(x)z(x)=C
donc
----------------------------------
v(t)=U0(x)*z(x)*exp(-i*k*t)
----------------------------------

C'est plutôt
$\text{[math]}$
Et tu vas me dire "comme C=1 on a $\text{[math]}$ "
Eh bien NON, ce n'est pas comme ça qu'on raisonne.

Oublions la conditions $\text{[math]}$ , et regardons la condition $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ . On en déduit que K ne peut pas prendre n'importe quelle valeur (c'est la quantification) !!!
On va prendre a=0 pour faire simple. $\text{[math]}$ est alors de la forme $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Donc on a une solution
$\text{[math]}$

Et maintenant ajoutons la condition $\text{[math]}$
Ce qui faut comprendre c'est qu'on cherche une solution du type
$\text{[math]}$ ,
avec $\text{[math]}$ à déterminer.

Et $\text{[math]}$ est déterminé par
$\text{[math]}$

ie les $\text{[math]}$ sont les coefficients de fourier de U_0

Et ta solution est

$\text{[math]}$

Voilà.
(Il y a des passages mathématiquement non rigoureux mais on est en physique... si tu as des scrupules je te laisse régler les problèmes, mais j'ai dit les grandes lignes)

invite7eb38865 · 04/01/2009, 14h51

Merci Garnet, j'étais un poil embêté, j'dois dire, avec U0 et z, j'avais oublié la somme de solutions ! (bon, il aurait fallu que je résolve le truc, aussi)

**manos59** · 04/01/2009, 15h08

Merci pour vos réponses. Je ne comprends pas trop ta démarche mais je vais essayer de comprendre ce que tu as écris. ça me parait difficile tout ça !

**manos59** · 04/01/2009, 15h36

En fait cette équation de schrödinger linéaire je sais la résoudre numériquement par exemple avec un schéma de Crank-Nicolson mais je problème est que je dois déterminer une solution analytique qui sera donc ma solution exacte pour pouvoir faire une comparaison.

Dans la littérature je trouve des truc (l'équation de schrödinger linéaire et non linéaire cubique résoulue analytiquement mais avec (pour la partie linéaire ) iU,t+U,xx=0 au lieu de iU,t-U,xx=0 (que je dois résoudre moi)). Numériquement je change juste le signe devant le Laplacien. Voilà en fait le problème de fond.

Si déjà en linéaire c'est difficile, qu'est ce que ça va être avec schrödinger non linéaire iU,t-U,xx=lambda*abs(U)^2*U?

**manos59** · 04/01/2009, 18h54

Voici comment j'ai résolu le problème (il reste tout de même quelques questions)

iU(x,t),t-U(x,t)],xx=0 ou idU(x,t)/dt-d^2U(x,t)/dx^2=0

i désigne un nombre complexe.

avec les conditions aux limites : U(a,t)=0; U(b,t)=0 (conditions de dirichlet, a borne inférieure et b borne supérieure --> [a,b]

Je résouts l'équation sur [0,1] avec a=0 et b=1
Les conditions aux limites s'écrivent U(0,t)=U(1,t)=0

La condition initiale : U(x,0)=U0(x)

Méthode de séparation des variables

On pose

U(x,t)=z(x)*v(t)

En remplaçant dans l'EDP je trouve :
iz(x)v'(t)-v(t)z''(x)=0

soit iv'(t)/v(t)=K=z''(x)/z(x) = 0

Je trouve deux équations :
iv'(t)/v(t)=k --->v'(t)/v(t)=-i*k*t
la solution est : v(t)=C*exp(-i*k*t) où C et k sont des constantes

à t = 0, v(0)=1 ----> C = 1 donc

----------------------------------
v(t)=exp(-i*k*t)
----------------------------------

La deuxième équation me donne :

z''(x)-Kz(x)=0 et je trouve :

cas 1 : k< 0

La solution est donc donnée par

----------------------------------------------
z(x)=A*exp(sqrt(k)*x)+B*exp(-sqrt(k)*x)
-----------------------------------------------

z(0)=z(1)=0 donc A=B=0 d'où

----------------------------------------------
z(x)=0 et ne fait pas l'affaire !!!!
-----------------------------------------------

cas 2 : k=0

L'équation différentielle z s'écrit : z"=0 donc la solution est donnée par :

-------------
z(x)=Ax+B
-------------

z(0)=z(1)=0 -----------> A=B=0 d'où :

----------------------------------------------
z(x)=0 et ne fait toujours pas l'affaire !!!!
-----------------------------------------------

cas 3 : k<0

Je pose k=-p^2

L'équation différentielle s'écrit : z"+p*pz=0 qui admet pour solution

---------------------------
z(x)=Acos(px)+Bsin(px)
---------------------------

z(0)=0 donc A = 0 et z(x) = Bsin(px)
z(1)=0 ------> Bsinp = 0 donc p=n*pi, n est un entier naturel non nul

d'où, en prenant n=1
---------------------------
z(x)=Bsin(pi*x)
---------------------------
et k=-p*p = -(n*pi)^2 ou k= -pi^2 en gardant n=1

La solution v(t) devient :

----------------------
v(t)=exp(i*pi^2*t)
-----------------------

La famille de solution particulières sur [0,1] est donc :

----------------------------------
U(x,t)=sin(pi*x)*exp(i*pi^2*t)
----------------------------------

Comment généraliser cette solution sur [a,b] avec a réel négatif et b réel positif et symétrie en x=0 ?

Avez-vous une idée? Merci d'avance

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