Equations aux dérivées partielles => Linéaire ???

invited596b071 · 04/01/2009, 09h28

Bonjour à tous,

Voila, j'ai un problème.

J'étudie les edp, et une des premières définitions de mon cours concerne les edp dites "linéaires".

Mon cours stipule : "Une EDP est dite linéaire quand elle l'est par rapport aux dérivées partielles d'ordre le plus élevé en chacune des variables".

Ensuite j'ai des exemples d'edp lineaires...

Mon problème est que je n'arrive pas à comprendre ce concept, et je n'arrive donc pas à dire si une équation est linéaire ou non, ou (concept suivant) si elle est quasi linéaire.

Est ce que quelqu'un pourrait éclairer ma lanterne ???

Merci à vous

invite7eb38865 · 04/01/2009, 11h08

Si ton équation (pour trouver u(x,y,t), par exemple) est linéaire, alors les coefficients ne dépendent que de x, y et t.

Elle est quasi linéaire (donc non linéaire, en pratique), si les coefficients sont des fonctions de x,y, t ET u !

Voili voilou.

Pourquoi on parle de linéaire ou pas? Simple. Dans le premier cas, si f est une solution de ton edp, alors $\text{[math]}$ *f est solution. ce qui n'est plus le forcement le cas ensuite, puisque les coefficients dépendent de ta fonction de manière parfois bizarre. Dans Navier Stokes, par exemple, multiplier par deux la vitesse multiplie par quatre les termes non linéaires :]

invited596b071 · 04/01/2009, 13h03

aaaaaaaaah d'accord

Merci beaucoup !

Juste une question encore,

on me dit que

$\text{[math]}$

est quasi linéaire (et homogène) mais que

$\text{[math]}$

N'est pas quasi linéaire. Pourquoi celà ? je ne vois pas trop... sinon pour le reste ca semble marcher dans ma tête

Merci

invite7eb38865 · 04/01/2009, 14h30

Envoyé par pixelb

aaaaaaaaah d'accord

Merci beaucoup !

Juste une question encore,

on me dit que

$\text{[math]}$

est quasi linéaire (et homogène) mais que

$\text{[math]}$

N'est pas quasi linéaire. Pourquoi celà ? je ne vois pas trop... sinon pour le reste ca semble marcher dans ma tête

Merci

En fait, le terme quasi linéaire est lié au terme d'ordre le plus important dans l'edp.
Dans le premier exemple, c'est $\text{[math]}$ . Tout est linéaire en x à cet ordre là.

Dans le second cas, le plus important en x est en $\text{[math]}$ or, le terme non linéaire est précisément de cet ordre.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite44c47a96 · 28/10/2015, 12h26

bonjour,
je n'est pas compris ce dernier message,pourquoi est ce que $\frac{\partial^2 u }{\partial x^2}$ est le terme le plus grand alors que le premier terme de l'equation: $\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial^2 u }{\partial x^2}+\left( \frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial^2 u }{\partial y^2}=0$
est aussi au 2eme degré
vous dites
"Dans le second cas, le plus important en x est en $\frac{\partial u }{\partial x}$ or, le terme non linéaire est précisément de cet ordre."
je ne comprend pas en quoi $\frac{\partial u }{\partial x}$ est non linéaire .
merci de votre aide

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