Limite définition

[invite8958adee]

Bonjour à tous,

Je bloque sur un exercice. Le but de cet exercice est de montrer en utilisant la définition de la limite que lim x-->1 de 2x/(x+1)=1.
J'ai commencé en disant que pour tout Epsilon >0, il existe un alpha >0 tel que valeur absolue de x-xo soit inférieure à alpha impliquant que valeur absolue de f(x)-l < Epsilon. Et je suis bloqué à valeur absolue de x-1/(x+1) < Epsilon.

Merci d'avance pour votre aide,
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[gg0]

Bonjour.

Attention, la définition est :
pour tout Epsilon >0, il existe un alpha >0 tel que (valeur absolue de x-xo < alpha) implique ( valeur absolue de f(x)-l < Epsilon).
C'est une définition formelle, il ne faut pas la trafiquer.
Donc tu dois prouver cette implication, ou plus exactement : Comme c'est quelque soit epsilon, tu n'as pas le choix pour epsilon. Et tu dois donc montrer qu'il existe un alpha (qui va dépendre de epsilon, puisqu'il apparaît dans la définition après le epsilon) qui rend l'implication vraie.
Donc tu es bien parti avec
qui est simplifié en (attention ce n'est pas ce que tu as écrit, tu as oublié la parenthèse autour de x-1)
C'est la conclusion à avoir. Donc c'est la fin de la preuve de l'implication. Il va falloir remonter maintenant à un alpha qui marche. remarque que tu as déjà le x-1.

Déjà, tout ça c'est pour x proche de 1, donc x+1 est proche de 2. Si tu trouves une fraction plus simple, mais plus grande que et que tu lui impose d'être inférieure à epsilon, tu auras un problème plus simple. or trouver une fraction plus grande se fait soit en augmentant le numérateur, ou en diminuant le dénominateur. Comme ce qui se passe loin de 1 n'a pas d'importance, tu peux imposer à x d'être entre 0 et 2 (ça correspond à imposer |x-1|<1, ce qui pourra s'intégrer dans le |x-1|<alpha).
je te laisse continuer (il faut bien que tu trouves une partie de la preuve, c'est ton exercice).

Bon travail !

[invited3a27037]

bonjour

Est ce que quelqu'un peut me dire si cette définition de la limite est encore vue au lycée et si elle est utilisée dans des exercices ?

merci

[invited3a27037]

Autre question.

Il me semble avoir lu qu'il y a quelques années en arrière on prenait la définition avec "0<|x-x0|< alpha => ... ", c'est la définition de la limite épointée.

Est ce exact ? Si oui, en quelle année a t-on changé de définition de la limite et pourquoi ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Suivant les lieux et les époques, les définitions de limites ont évolué. Sauf erreur de ma part, la définition par les epsilon ne se rencontre plus en lycée en France, ce qui règle le problème.
la définition avec limite épointée est surtout une source de petits exercices sans grande utilité (le problème est une conséquence de la limite !). la définition avec seulement |x-x0|< alpha, combinée avec l'appartenance au domaine de définition (donc x0 dans l'adhérence du domaine) a l'avantage d'être parfaitement compatible avec la continuité, et de permettre le prolongement par continuité. Elle est aussi cohérente avec les définitions topologiques.

Cordialement.

[invited3a27037]

merci pour cette réponse gg0