Limite définition

[invite6b1540fa]

Bonjour,
Je ne m'intéresse ici qu'aux fonctions de R dans R.
Je pense connaître la définition formelle de la limite d'une fonction, cependant je n'arrive pas à comprendre clairement quelles sont les hypothèses de cette définition.
Celles que je trouve sur internet ou dans les livres sont souvent légèrement differentes et il me semble incomplètes.

Par exemple on me définit la limite avec l'hypothèse que l'application considérée est définie sur un intervalle de R privé ou non du point auquel on souhaite savoir la limite.
Dans ce cas là si je prend une application définie sur une réunion d'intervalles séparés par exemple la restriction de l'identité a [1,2] union [3, 4], si j'en crois cette définition, impossible de parler de limite en aucun point de cette application car les hypothèses ne sont pas réunies, hors il me semble que dans la pratique on pourrait étudier des limites sur cette fonction d'où mon incomprehension.

Je vous remercie d'avance si vous m'apportez une réponse claire (en espérant que ma question l'ai été suffisamment)
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[Tiky]

Bonjour,

Je ne comprends pas ta difficulté. On te dit que la fonction doit être définie sur voisinage du point (un intervalle ouvert) sauf peut-être au point.
Cela ne signifie pas que le domaine de définition de la fonction est un intervalle.

Dans ton cas, si tu souhaites étudier la limite en , ta fonction est bien définie sur .

[invite6b1540fa]

ah mais quand il y a ecrit soit une fonction definie sur ... ca veut dire que ... est inclus dans l'ensemble de definition ? ou ca veut dire que ... est l'ensemble de definition ?

[Tiky]

C'est inclus dans le domaine, ce n'est pas le domaine.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1540fa]

d'accord ... je crois que j'avais jamais compris ce detail ... merci

[Tiky]

Ce qui compte pour pouvoir calculer une limite d'une fonction en un point x, c'est de pouvoir s'approcher autant que possible du point x sans quitter le domaine de définition de la fonction et sans atteindre x.

[invite6b1540fa]

mais du coup il faut prouver que la limite est independante du voisinage pris non ?

[Tiky]

Oui cela ne dépend pas du voisinage.

J'appelle voisinage de , une partie de qui contient un intervalle ouvert tel que . Par exemple ou sont des voisinages de 0 mais n'est pas un voisinage de 0.

Soit une fonction définie sur un voisinage de . On dit que tend vers en selon si :
tel que , .

Supposons que tend vers selon le voisinage .
Considérons un autre voisinage de sur lequel f est définie. Montrons que tend toujours vers selon . L'idée est très simple.
Il suffit de remarque est un voisinage de , et . On en déduit que tend vers selon

Il est clair que si tend vers selon et si , alors f tend vers selon .
En effet les voisinages de la première assertion conviennent toujours dans la seconde. Comme , on a terminé.

[Tiky]

Petite erreur, il faut lire définie sur un voisinage de sauf peut-être en .

[invite6b1540fa]

Mais dans R un voisinage de a il est de la forme ]a - alpha, a + alpha[ non ?

[Tiky]

Mais dans R un voisinage de a il est de la forme ]a - alpha, a + alpha[ non ?

Non mais tous les voisinages de a contienne un tel ensemble.

[ansset]

Mais dans R un voisinage de a il est de la forme ]a - alpha, a + alpha[ non ?

pas forcement.
tu peux avoir deux limites : une en a+ et l'autre en a-

[invite6b1540fa]

justement je comprend pas comment par exemple on peut dire que la limite a gauche de racine carree de x cest 0 vu que ya rien a gauche

[ansset]

justement je comprend pas comment par exemple on peut dire que la limite a gauche de racine carree de x cest 0 vu que ya rien a gauche

qui dit ça ?
sqrt(x) dans les réels n'est définie que pour x>=.0 , donc on e peut pas parler de limite pour x négatif.

[invite6b1540fa]

a oui mais on dit que la limite de racine quand x tend vers 0 cest 0 non ?

[Tiky]

justement je comprend pas comment par exemple on peut dire que la limite a gauche de racine carree de x cest 0 vu que ya rien a gauche

En toute rigueur on doit parler alors de limite à droite ou limite à gauche.

[invite6b1540fa]

est ce que si une fonction admet une limite a gauche et a droite et qu'elles sont egales c'est equivalent a ce que la fonction admet une limite tout court ?

[Tiky]

est ce que si une fonction admet une limite a gauche et a droite et qu'elles sont egales c'est equivalent a ce que la fonction admet une limite tout court ?

Oui c'est équivalent. Il suffit de remarque que tout voisinage est réunion d'un voisinage à droite et d'un voisinage à gauche.

[invite6b1540fa]

donc comme la limite de racine de x en 0 cest 0 ca veut bien dire que la limite a gauche de racine de x en 0 cest 0 mais justement ou est le voisinage a gauche ?

[Tiky]

En fait avec la définition que je t'ai donnée au début, n'admet pas de limite en 0.

Un voisinage à droite de a, c'est simplement un ensemble qui contient un intervalle de la forme avec

On dit que définie sur un voisinage à droite U de a (sauf peut-être en a) admet une limite à droite en si :
tel que ,

En conclusion la fonction racine admet une limite à droite en . Maintenant par abus de langage (tout à fait compréhensible), on dit que cette fonction admet une limite en 0. Parfois on dit plutôt en

[ansset]

oui c'est un abus de langage.
mais ça peut être aussi au faute grave d'analyse mathémathique.
il y a des fonctions qui divergent vers +/- l'inf en 0-
et qui ont une limite =0 en 0+ par exemple.

[invite6b1540fa]

... ca explique tous ces exemples contradictoires qui me viennent a l'esprit, jusqu'a present j'arrivais a me debrouiller sans trop comprendre parce qu'on ne faisait que des cas simples mais je trouve qu'en general l'analyse c'est quand meme bien mal explique ... je vous remercie mille fois de m'avoir eclairci les idees