int {0->2Pi} { dt/(1+ k.cos at) }

**acx01b** · 07/01/2009, 18h09

bonjour,
j'aimerais savoir s'il est possible de connaître une valeur approchée de cette intégrale avec k compris entre 0 et 1 et a un entier:
$\text{[math]}$

(c'est l'énergie de la réponse fréquentielle d'un comb filter)
merci d'avance !

inviteaf1870ed · 07/01/2009, 18h22

Voilà la réponse de The Integrator pour la primitive

(2*ArcTanh[((-1 + k)*Tan[(a*x)/2])/Sqrt[-1 + k^2]])/ (a*Sqrt[-1 + k^2])

**acx01b** · 07/01/2009, 18h33

fallait y penser !

invite57a1e779 · 07/01/2009, 18h44

Bonsoir,

Le problème de la primitive donnée par ericcc est qu'elle n'est pas définie sur l'intervalle d'intégration : l'utilisation brutale de cette primitive conduirait à une intégrale nulle...

Mais on peut effectivement calculer explicitement l'intégrale.

On commence par le changement de variable $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .

Comme $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ -périodique et que $\text{[math]}$ est entier, on intègre sur $\text{[math]}$ périodes, donc $\text{[math]}$ est égale à $\text{[math]}$ fois l'intégrale sur une période, que je prends sur $\text{[math]}$ afin d'utiliser la parité du cosinus :

$\text{[math]}$ .

La valeur est en fait indépendante de $\text{[math]}$ ; on utilise alors le changement de variable $\text{[math]}$ pour se ramener à une fraction rationnelle :

$\text{[math]}$ .

L'intégration de la fraction rationnelle ne pose plus de problème :

$\text{[math]}$ .

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**acx01b** · 07/01/2009, 22h19

oui je ne l'avais pas vu merci !!

mais si on pose $\text{[math]}$
et $\text{[math]}$ la primitive de $\text{[math]}$ donnée par ericc,
comme $\text{[math]}$ est continue et bornée sur une période $\text{[math]}$ alors on peut écrire
$\text{[math]}$

merci beaucoup à vous deux même si je suis un peu triste que au final la valeur de l'intégrale ne dépende pas de a !

invite57a1e779 · 07/01/2009, 22h30

On pourrait effectivement envisager ce que tu proposes, mais lorsque je vois que la primitive fournie comporte un argument tangente hyperbolique et un facteur $\text{[math]}$ , j'ai grand peur que «The Integrator» ait fait un calcul formel, valable uniquement pour $\text{[math]}$ , ce qui n'est pas le cas...

int {0->2Pi} { dt/(1+ k.cos at) }