Bonjour tout le monde,
Voici un exercice de proba :
Si on lance une infinité dénombrable de fois un dé. Quelle est la proba d'observer 6 à chaque lancé ?
Je ne veux pas résoudre cet exercice, j'aimerais en fait définir l'univers Oméga muni d'une tribu et d'une proba ainsi qu'une variable aléatoire X de Oméga vers un ensemble muni lui aussi d'une tribu.
Ce qui me permettra d'exprimer clairement l'évènement "obtenir 6"et sa probabilité.
Si quelqu'un peut m'aider.
Merci
L'universest l'espace des résultats. C'est donc l'espace des suites à valeurs dans {1,..,6}
Soit
Tu peux munir Oméga de la tribu produit A : c'est la sigma-algèbre généré par les produit finis.
Par exemple l'événement B = {{6}x{6}x{6}X{6}X{1..6}x{1..6} ....} est un produit fini
(à partir d'un certain rang c'est l'espace {1...6} en entier qu'on prend)
Pour définir une probabilité (ou une mesure) sur Oméga il suffit de la définir pour les produits finis. On peut donc définir la proba produit:
%20=%20P(%5C%7B%5Comega_i%5C%7D)%20=%201/6%20*%201/6%20*%201/6*1/6*1*1*1..%20)
Merci sadben2004 pour ta réponse.
Maintenant, si on considère l'expérience triviale, on lancé un dé et on note le numéro. Comment définir une variable aléatoire et un univers tel que P(X=i) est la probabilité de l'évènement obtenir le numéro i ?
par définition :
P(X=i) = P({w dans Omega tels que X(w) = i})
donc l'ensemble d'arrivée de X serait {1, 2, 3, 4, 5, 6} muni de la tribu ensemble des parties et de la proba P' définie par P'(i) = 1/6.
Si ce que je viens de dire est juste,
Qu'en est-il de Omega, sa tribu et P ?
Dans l'exemple que t'as pris, l'univers Omega coïncide avec X(Omega).
Supposons qu'on note le carré du chiffre obtenu
Alors il faut d'abord munir l'univers d'une tribu et d'une proba : c'est l'ensemble des partie de {1..6}, et la proba uniforme.
L'image de Omega est {1,4,9...,36} qu'on muni de la tribu 'ensemble des parties'.
X est alors mesurable de Omega vers X(Omega) (chacun muni de sa tribu de parties).
On peut donc munir X(Omega) d'une proba P', qui est la probabilité image par X de P. P' est la proba uniforme sur {1,4,9...,36}
X peut aussi être vu comme une va réelle (R muni de la tribu borelienne), ou a valeur dans [1,2,.100] muni de la tribu des parties. et dans tout les cas elle est mesurable et on peut définir une proba image sur l'ensemble d'arrivée (R,[1,2,..100]...etc).
Cette proba image est ce que on appelle la loi de X
Ok j'ai compris. merci bcq
