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surface élémentaire



  1. #1
    duffman49

    surface élémentaire

    Salut à tous
    La surface élémentaire dS d'un disque vaut 2*pi*r*dr mais je vois pas trop comment on l'obtient donc si quelqu'un peut m'expliquer le raisonnement

    Merci d'avance

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    commonsense

    Re : surface élémentaire

    Bonsoir
    Tu as la méthode bourine qui consiste à différentier la surface sans se poser de question :
    Pour ton cas:
    Même démarche pour une coquille sphérique:
    volume : ----->surface élémentaire:

    Sinon le mieux pour bien le sentir est de faire un dessin mais sur un forum, c'est dur

  4. #3
    Rincevent

    Re : surface élémentaire

    salut,

    Citation Envoyé par duffman49 Voir le message
    La surface élémentaire dS d'un disque vaut 2*pi*r*dr mais je vois pas trop comment on l'obtient donc si quelqu'un peut m'expliquer le raisonnement
    plus précisément, ceci est la surface d'un anneau infinitésimal compris entre les cercles de rayons r et r+dr. Ce qu'on appelle surface élémentaire en coordonnées polaires comporterait encore l'angle theta comme variable : ds=r dr dtheta [et c'est d'ailleurs en intégrant ce truc par rapport à theta qu'on obtient le 2 pi dans ta formule].

    le r dr dtheta vient quant à lui du fait que c'est grossièrement la surface du "truc grossièrement carré" compris entre les arcs de cercles d'ouverture dtheta et de rayons respectifs r et r+dr, et entre les segments d'orientés dans les directions theta et theta + dtheta [comme le dit commonsens, vive les dessins ]. Le truc plus ou moins carré que cela forme a en effet pour côtés dr et r dtheta si l'on néglige les termes du genre dr x dtheta qui sont d'ordre supérieur.

    si tu ne veux pas repartir de ce truc élémentaire et garder l'anneau, l'histoire est la même : un anneau est la différence entre deux disques. La surface du disque de rayon r est pi r^2, celle de celui de rayon (r+dr) est pi (r+dr)^2. Si tu fais la différence, tu obtiens pi (r^2+dr^2+2 r dr - r^2)=pi (2 r dr + dr^2). Le deuxième terme étant très petit devant le premier (y'a un truc infinitésimal au carré), on le néglige et obtient bien ce que tu voulais.

    Là où ça rejoint ce que t'as dit commonsense, c'est que faire la différence entre une grandeur et une grandeur un tout petit peu plus grande en ne gardant que les termes linéaires par rapport au changement [dr ici], c'est exactement ce qu'est l'opération mathématique nommée différenciation.
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  5. #4
    duffman49

    Re : surface élémentaire

    Merci beaucoup à vous deux

  6. #5
    LPFR

    Re : surface élémentaire

    Citation Envoyé par duffman49 Voir le message
    Salut à tous
    La surface élémentaire dS d'un disque vaut 2*pi*r*dr mais je vois pas trop comment on l'obtient donc si quelqu'un peut m'expliquer le raisonnement

    Merci d'avance
    Bonjour.
    Non. La surface élémentaire d'un disque ou de n'importe quelle autre surface peut être n'importe quelle petite surface (différentielle, évidemment).
    Suivant le problème, on choisit la surface élémentaire qui convient.
    Quand le problème consiste à faire une intégrale de surface d'une grandeur physique, on choisit la plus grande surface élémentaire dans laquelle la grandeur physique est constante. Par exemple, s'il s'agit de calculer avec une pression hydrostatique, la surface élémentaire doit être à la même profondeur.
    Si on a une distribution de n'importe quoi sur un disque et que cette distribution à une symétrie de rotation, la surface élémentaire la plus grande est effectivement un anneau de petite largeur dr. Mais ce n'est pas obligé. Dans ce même problème vous pouvez choisir une surface élémentaire plus petite, de deuxième ordre: un petit carré dx dy. Cela vous demande une intégrale double (sur x et sur y) et vous aurez plus de difficultés à définir les limites de l'intégrale. Toujours dans le même problème vous pouvez choisir une surface moins idiote en utilisant des coordonnées circulaires. Dans ce cas le petit "carré" devient r d(thêta) dr. Toujours avec une intégrale double en thêta et r. Et si vous intégrez d'abord sur thêta, vous aurez la surprise de trouver un différentiel de surface plus astucieux (de premier ordre).
    Au revoir.

  7. A voir en vidéo sur Futura

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