Dérivation d'intégrale

[invite3c7cf36a]

Bonjour,

Je dois dériver l'intégrale de 0 à x de F(x) en sachant que la primitive de F s'annulant en 0 est G.

L'ennui c'est que je ne sais pas comment faire à cause des bornes d'intégrations. Pourriez vous m'éclairer svp.
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[invitea3eb043e]

Faut pas dire somme de 0 à x de F(x) car on ne sait plus si x est la variable d'intégration ou la borne. Il faut dire somme de 0 à x de F(t) dt
On sait que cette intégrale est la primitive de F qui s'annule en 0, ou bien on peut dire que c'est G(x) - G(0) où G est une primitive quelconque de F.

[invite3c7cf36a]

Effectivement oui mais il me reste toujours ce problème comment dériver une intégrale ayant une borne non fixe?

[invitea3eb043e]

L'intégrale qui a une borne variable x est une fonction de x et cette fonction est la primitive que tu cherches car sa dérivée est F(x) et elle s'annule pour x=0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3c7cf36a]

Je ne suis pas sûre d'avoir tout compris mais apparement çà ferait G(x) c'est çà?

[invite57a1e779]

Écris la formule correspondant au calcul de Jeanpaul :, donc la dérivée de l'intégrale est , par définition même d'un primitive.

[invite3c7cf36a]

Une autre petite question car apparemment je n'aboutis pas au bon résultat:

On me demande d'exprimer G(0) et G(1) en fonction de G(x).

J'utilise donc la formule de Taylor avec reste intégrale à l'ordre 1 et je trouve G(0)= G(x)+ (0-x)G'(x) et G(1)=G(x)+(1-x)G'(x)

Cependant après on me demande de montrer que la valeur absolue de F(x) est inférieur à (((1-x²)+x²)/2)*(sup(t appartient [0,1]) de la valeur absolue de f(t))

Sachant que je sais que F'=f et intégrale de 0 à 1 de F(t)dt=0

Pour montrer cette inégalité je me sert donc de cette intégrale en disant que int(0 à1) de F(t)dt=G(1)-G(0) mais j'arrive à quelque chose d'absurde qui est que cette intégrale est égale à F(x)