points doubles

[invite6ed6fe4c]

bonjour
bah j'ai besoin d'un coup de main et je remerci infiniment tout ceux qui vont m'aider ...
bah j'ai fait l'étude d'une courbe paramétré facile koi mais j'ai rencontré un petit probleme au niveau des pts doubles voila la fonction :
x(t) = cos(t)
y(t)= cos(2t/5)

bah pr determiner les pts double on doit faire x(u) = x(v) et y(u) = y(v) avec u \neq v

<=> cos(u) = cos(v ) => u = v + 2k\pi ou u= - v + 2k\pi
et cos(2u /5 ) = cos( 2v/5 ) => u = v + 5k\pi ou u = -v + 5k\pi
u et v appartienne au domaine d'étude qui est [0;5\pi/2]
donc u - v appartien a [ -5\pi/2 ; 5\pi/2 ]
et u + v appartien a [ 0 ; 5\pi ]

Donc on doit chercher des K tel que u-v et u+v appartienne au interval que j'ai cité..

bah une fois les K determiner je fait quoiii :s:s ????
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[Jeanpaul]

C'est un peu troublant en effet. Ca s'appelle des courbes de Lissajous, c'est très joli.
Tu as dit juste en disant que
1ère équation u = v + 2 p pi ou u = - v + 2 p pi
2ème : u = v + 5 q pi ou u = - v + 5 q pi
Ca te donne 4 systèmes de 2 équations à 2 inconnues en combinant tout ça.
Prenons le 1er cas :
u = v + 2 p pi
u = v + 5 q pi
Ce système est indéterminé mais il exige que 2 p = 5 q, ce qui n'est rien d'autre que dire que la courbe repasse sans cesse sur elle-même
Second cas :
u = v + 2 p pi
u = - v + 5 q pi
Ca se résout comme un système banal.

[invite6ed6fe4c]

comment vous avez su que la courbe repasse sans cesse sur elle meme ? ( c'est ce que j'ai trouver dans le corrigé mais j'ai pas compris comment il ont fait pour déduire ça ...! ) pouvez vous m'expliquez s'il vous plait . . et merci infiniment pour votre coup de main...

[God's Breath]

Il y a deux phénomènes distincts :
Tout d'abord , c'est la périodicité : après avoir parcouru un intervalle de longueur , on repasse toujours par les mêmes points, mais dans le même ordre. On peut donc se restreindre à une étude sur

Ensuite : on repasse aussi par les mêmes points, mais on parcourt deux fois la courbe en revenant en arrière : on parcourt un arc lorsque croît de à 0, et on parcourt à nouveau cet arc en sens inverse lorsque croît de 0 à .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

comment vous avez su que la courbe repasse sans cesse sur elle meme ? ( c'est ce que j'ai trouver dans le corrigé mais j'ai pas compris comment il ont fait pour déduire ça ...! ) pouvez vous m'expliquez s'il vous plait . . et merci infiniment pour votre coup de main...

Remplace t par t + 10 pi et tu verras la courbe se reproduire.