Calcul d'intégrale

[inviteb9ec20b2]

Kikoo tout le monde.
j'ai un tout petit souci à résoudre un exo qui traite les intégrales.

1-Montrer que la fonction Fn : x-> (sin nx) / sin x se prolonge par continuité à l'origine et donner la valeur de son prolongement en 0.
On notera toujours Fn la fonction ainsi prolongée.

2-Pour tout entier naturel n, on note In, l'intégrale de la fonction Fn sur le segment [0, pi/2]
a) Calculer pour tout n, la différence I(n+2) -In
b) En déduire pour tout n, la valeur de In

(n est en indice)


Donc j'ai réussi la 1ere question:
Au voisinage de 0, sin nx ~ nx et sin x ~ x
donc F indice n se prolonge en 0 par la valeur n.

Concernant la 2)a), voilà ce que j'ai fait (je ne note pas les dx)

I(n+2)-In = ∫ [ sin[ (n+2)x] - sin nx ] / sinx

=∫[ sin (nx +2x) - sin nx] / sin x
= ∫[sin nx + cos 2x + cos nx + sin 2x - sin nx ]/ sinx (en appliquant sin(a+b) et les sin nx se simplifient)

=∫[cos nx + cos 2x +sin 2x] / sin x
= ∫[cos nx + 1-2sin²x + 2cos x sinx ] / sinx

Donc I(n+2)-In = ∫cos nx/sinx + ∫ 1/sinx - 2∫sinx + 2∫cosx

Donc je parviens à une forme intéressante et facile à calculer mais je me demandais si je pouvais trouver ∫cos nx/sinx.
Puisque si jamais je le pouvais, j'aurais pu directement calculer l'intégrale de In et donc cette question intermédiaire serait inutile !
Est-ce que je me serais mal prise ?
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[invite57a1e779]

Est-ce que je me serais mal prise ?

Oui, dans , tu fusses plus inspirée d'utiliser la formule en

[invite4e7dfd98]

Bonjour j'ai le même problème à résoudre et en utilisant sinp-sinq je tombe sur In+2-In=2intégrale 0 à pied sur 2 (cos (n+1)x)dx la je suis bloqué le changement de variable u=(n+1)x ne donne rien...

[gg0]

Bonjour.

Tu tombes sur une intégrale "évidente". Tu sais intégrer cos(ax).

Cordialement.

NB le changement de variable que tu proposes, même inutile, donne bien une intégrale simple puisqu'il s'agit ensuite d'intégrer cos u où u est la variable !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Au cas où d'autres viendraient lire, le calcul de K-kiss84 est complètement faux :
=∫[ sin (nx +2x) - sin nx] / sin x
= ∫[sin nx + cos 2x + cos nx + sin 2x - sin nx ]/ sinx (en appliquant sin(a+b) et les sin nx se simplifient)

[invite4e7dfd98]

Merci bcp gg0