Applications qui conservent la structure d'espace métrique complet: Isométries?

[invite186b6db8]

Bonjour à tous,

En cours de topologie et d'analyse fonctionnelle, on présente la notion de complétude. Je n'arrive pas à déterminer ce qu'est un isomorphisme d'espaces complets (i.e. une application qui transporte la notion de complétude). Ma question est la suivante:
Soit (X,d) et (Y,d') deux espaces métriques, X complet. S'il existe une application f de X vers Y tq ........(que doit-on mettre ici?), alors f(X) est complet.

Etant donné que la complétude est une notion métrique (une suite de Cauchy est forcément définie via une distance) et non topologique, j'imagine que la continuité, l'uniforme continuité ou le caractère lipschitzien de f ne seront pas suffisants. On le voit aussi par le contre exemple classique: arctan de R (muni de sa valeur absolue) vers ]-pi/2;pi/2[: R est complet, quand ]-pi/2;pi/2[, ouvert dans R, ne l'est pas.

J'ai pensé ensuite à une isométrie, celle-ci me garantissant que mes distances dans Y et dans X sont les mêmes. Une isométrie étant nécessairement injective, elle est bijective sur son image (si on note g la restriction de f à l'espace d'arrivée f(X), alors g est continue, d'inverse continue et est donc bien un homéomorphisme entre X et f(X)). On a bien que f(X) est complet car si je prends une suite (y_n) de Cauchy dans f(X), je lui associe sa suite d'antécédents (g^-1(y_n) qui va être une suite de Cauchy (car g est une isométrie) dans un espace complet. Cette suite d'antécédents est donc bien convergente. En utilisant le caractérisation séquentielle de la continuité, j'en déduit que (y_n) converge vers un élément y de f(X).
Ainsi, f isométrie est suffisant pour transporter la complétude. Mais est-ce une condition nécessaire? J'ai l'impression que si on prend une application qui est tq:
Il existe un réel positif C, tel que pour tous x et y éléments de X, on a 1/C.d(x,y)<d'(f(x),f(y))<C.d(x,y ) (i.e. f est lispschitzienne, mais pas trop). J'ai bien une bijection de X sur f(X), et à priori cela pourrait transporter la complétude.

Et ma deuxième question (qui découle de la première) est simplement trouver une condition nécessaire et suffisante sur une application entre deux espaces métriques pour qu'ils soient complets.

Merci d'avance pour votre aide!
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[gg0]

Bonjour.

f isométrie n'est pas nécessaire. L'application de R dans R définie par x-->2x n'est pas une isométrie, pourtant R est complet (topologie canonique).

Déjà, f doit être surjective, sinon tu ne pourra rien dire sur une partie de Y. Ensuite, il va te falloir explorer comment l'existence et les propriétés de f ont une influence sur d'. Ce n'est pas évident; je n'ai d'ailleurs pas de réponse.
Ce serait déjà différent si d' était la mesure image de d par f. Mais tu as défini un problème bien plus complexe.

Cordialement.