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invitecbade190 · 13/01/2009, 22h01

Bonjour :
Théorème :
Soient : $\ (E_1, || . ||_{E_1}), ... , (E_n, || . ||_{E_n})$ et $\ (F, || . ||_{F})$ des espaces vectoriels normés.
On munit : $\ E_1 \times ... \times E_n$ de la norme : $\ || (x_1,...,x_n) || = \max \{ || . ||_{E_1}, ... ,|| . ||_{E_n} \}$
$\ ( E_1 \times ... \times E_n , || . || )$ est un espace vectoriel normé.
Soit : $\ L : E_1 \times ... \times E_n \longrightarrow F$ une application $\ n-$ linéaire.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
$\ 1)$ . $\ L$ est continue sur $\ E_1 \times ... \times E_n$ .
$\ 2)$ . $\ L$ est continue seulement en : $\ (0_{E_1}, ... ,0_{E_1} )$ .
$\ 3)$ . $\ L$ est bornée sur $\ B_1 \times ... \times B_n$ , où : $\ B_j$ désigne la boule unité de $\ E_j$ .
$\ 4)$ . $\ L$ est bornée sur $\ S_1 \times ... \times S_n$ , où : $\ S_j$ désigne la sphère unité de $\ E_j$ .
$\ 5)$ . $\ \exists \alpha > 0 \forall (x_1, ... ,x_n ) \in E_1 \times ... \times E_n$ : $\ || L(x_1, ... ,x_n ) ||_F \leq \alpha . || x_1 ||_{E_1} ... || x_n ||_{E_n} ||$

Questions :
$\ 1)$ Comment démontrer : $\ 4) \Longrightarrow 5)$ et $\ 5) \Longrightarrow 1)$ . ( Est ce que c'est comme ça qu'on démontre ce théorème, c'est à dire : $\ 1) \Longrightarrow 2) \Longrightarrow 3)\Longrightarrow 4) \Longrightarrow 5) \Longrightarrow 1)$
Merci infiniment !

invite57a1e779 · 13/01/2009, 22h15

Pour $4) \Rightarrow 5)$ :

On écrit $x_i = n_iu_i$ avec $n_i = \parallel x_i \parallel_{E_i}$ et $\parallel u_i \parallel_{E_i} = 1$ .

Alors $(u_1,\ldots,u_n) \in S_1\times\ldots\times S_n$ , donc $L(u_1,\ldots,u_n) \leq \alpha$ par 4).

Et $L(x_1,\ldots,x_n) = n_1\ldots n_n L(u_1,\ldots,u_n)$ te permet de conclure.

$5) \Rightarrow 2)$ est immédiat.

Le plus simple est, me semble-t-il, de prouver
$1) \Leftrightarrow 2) \Rightarrow 3) \Rightarrow 4) \Rightarrow 5) \Rightarrow 2)$

invitecbade190 · 13/01/2009, 22h18

Merci beaucoup "God's Breath" por ces précisions !

invite57a1e779 · 13/01/2009, 22h22

Envoyé par chentouf

$1) \Longrightarrow 2) \Longrightarrow 3)\Longrightarrow 4) \Longrightarrow 5) \Longrightarrow 1)$

En y réfléchissant, c'est une bonne méthode.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitecbade190 · 13/01/2009, 22h39

Dans ce cas, comment montrer directement $\ 5) \Longrightarrow 1)$

invite57a1e779 · 13/01/2009, 22h53

Le principe pour n=3 :

$\begin{align*}<br /> f(x_1,x_2,x_3) - f(a_1,a_2,a_3) &= f(x_1,x_2,x_3) - f(x_1,x_2,a_3) &+ f(x_1,x_2,a_3) - f(x_1,a_2,a_3) &+ f(x_1,a_2,a_3) - f(a_1,a_2,a_3) \\<br /> &= f(x_1,x_2,x_3-a_3) &+ f(x_1,x_2-a_2,a_3) &+ f(x_1-a_1,a_2,a_3)<br /> \end{align*}$

et on majore les termes obtenus en utilisant 5).

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