Application multilinéaire contine !

invite52487760 · 13/01/2009, 21h01

Bonjour :
Théorème :
Soient : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ des espaces vectoriels normés.
On munit : $\text{[math]}$ de la norme : $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ est un espace vectoriel normé.
Soit : $\text{[math]}$ une application $\text{[math]}$ linéaire.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
$\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ est continue sur $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ est continue seulement en : $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ est bornée sur $\text{[math]}$ , où : $\text{[math]}$ désigne la boule unité de $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ est bornée sur $\text{[math]}$ , où : $\text{[math]}$ désigne la sphère unité de $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$

Questions :
$\text{[math]}$ Comment démontrer : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . ( Est ce que c'est comme ça qu'on démontre ce théorème, c'est à dire : $\text{[math]}$
Merci infiniment !

**God's Breath** · 13/01/2009, 21h15

Pour $\text{[math]}$ :

On écrit $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Alors $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ par 4).

Et $\text{[math]}$ te permet de conclure.

$\text{[math]}$ est immédiat.

Le plus simple est, me semble-t-il, de prouver
$\text{[math]}$

invite52487760 · 13/01/2009, 21h18

Merci beaucoup "God's Breath" por ces précisions !

**God's Breath** · 13/01/2009, 21h22

Envoyé par chentouf

$\text{[math]}$

En y réfléchissant, c'est une bonne méthode.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite52487760 · 13/01/2009, 21h39

Dans ce cas, comment montrer directement $\text{[math]}$

**God's Breath** · 13/01/2009, 21h53

Le principe pour n=3 :

$\text{[math]}$

et on majore les termes obtenus en utilisant 5).

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