Bonsoir,
dans la démonstration de ce théorème donnée dans le Brezis dans l'étape b),
afin d'affirmer queest équicontinue, j'ai l'impression que l'auteur utilise cette inégalité que j'ai du mal à établir:
Merci pour toute indication.
ah vraiment désolé, je viens de retrouver un exo de l'an d'avant où on montrait que
bon en fait non c'était pas du tout le même exo
Bon finalement je pense avoir trouvé, enfin une majoration un peu plus faible mais c'est pas grave. J'obtiens cette relation:
Pour le cas non trivial où
d'où l'inégalité.
J'ai une dernière question concernant cette démo.
Pourquoi une partie relativement compacte de
Bonjour,
pour la première inégalité, je ne pense pas que l'auteur utilise
On a
Or si on pose
Donc
Cela dit je ne vois pas dans l'immédiat pourquoi on aurait.
Pour ta dernière question, c'est sans doute dû à la densité de
Cette assertion est manifestement fausse : pour tout réelEnvoyé par rhomuald
En faisant tendre
ah ok gb, et du coup même le rafistolage que j'ai fait à 00h53 c'est n'importe quoi, vu que je divise par l'infini (j'aurais du aller me coucher
Je vais creuser l'idée de Ganash, vu comme c'était balancé, je pensais que c'était quasiment direct.
Pour l'autre question je me doutais que la densité y serait pour quelque chose mais je rencontre ces problèmes:
les fonctions de
je suis d'accord avec le fait que
Bonjour rhomuald,
Je ne dispose pas du Brezis, et j'interprète peut-être mal ton problème.
Dans la forme classique du théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov,
ah oui merci gb, c'est tout bête j'avais pas tilté
et une partie relativement compacte de
parce que ces trois espaces sont complets + histoire de précompacité et de topo induite, pas besoin d'hypothèse de densité.
comment arrives-tu à cette inégalité? Du raisonnement que tu fais juste avant je ne vois pas comment on tombe dessus.Donc
Je vais essayer de mieux cibler mon problème afin de le rendre indépendant des notations du brezis et pas retaper tout l'énoncé,
je vous remercie d'avoir bien voulu vous pencher sur mon problème.
je viens de comprendre, tu avais admis que
Je reprends au sujet de cette inégalité mystérieuse.
l'énoncé du théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov:
Soit
On suppose que
Alors
au niveau de la preuve:
On suppose que
On note
On prend une suite régularisante
a) à l'aide de l'hypothèse d'équicontinuité intégrale on établit cette relation:
b)
D'autre part, on a
(c'est cette dernière inégalité que je ne comprends pas, à cause de cette apparition de
Il en résulte que
c) il conclut la démo.
Le plus simplement du monde :
Or
Bonjour gb,
cette inégalité ne me posait pas de souci, c'était plutôt celle où il y a du
Je viens de comprendre ton problème.
Il existe donc
Tu supposes bien : Brezis définit
La constante
Brezis définit ici une nouvelle constante :[CENTER]
Je te l'accorde, la réutilisation immédiate du nom
Note bien que cette deuxième constante
D'accord, en fait il suffit de prendre
Merci gb c'est bien clair maintenant.
Bonjour,
je déterre ce topic parce que je suis en trai nde bosser cette même preuve, dans le même bouquin !
Sauf que moi je bloque bien avant...
1. Pourquoi peut-on supposer
2. A quoi ça sert de supposer que
Merci d'avance pour votre aide !
Et dans la partie a) de la démonstration, il écrit "en effet on a", et je ne comprends pas la seconde inégalité :
Ca ressemble vaguement à du Holder, mais alors pour le
Salut !
cette inégalité c'est Holder (ou Jensen c'est pareil ici) mais appliqué à la mesure de proba Pn(y)dy au lieu de la mesure de lebesgue. (oui moi j'ai du apprendre RFK l'an dernier ^^ )
Pour ce qui est des question parlant du omega borné etc... regarde plutot le résultat suivant (présenté comme un corrolaire) ou il n'est plus question que d'un seul ouvert et donc ta question perd son interet^^ . personellement c'est ce résultat que j'appelle Riesz-frechet-Kolmogorov (parceque c'est nettement plus simple à énoncé et ce n'est pas plus faible que l'énoncé précedent...), ce que Brézis appelle RFK dans son livre et plus une sorte de lemme technique contenant toute la difficulté du théorème...
personnellement quand je préparais l'agreg je n'énoncais que la version simplifié et je la démontré directement (en regroupant les deux preuves) sans énoncer l'autre versions
Salut Ksilver, et merci !
Qu'apelle tu "Pn(y)dy" ? C'est quoi Pn ? Aaaaah c'est rho_n ! C'est vrai qu'on dirait un P en Latex ^^ Ceci dit je n'ai toujours pas compris comment il arrive à cette inegalité...
Dans le corollaire, l'ouvert
Ca passait en 15 minutes la démo, pour l'agreg ? Avais tu des applications de ce théorème (corollaire) sous le coude ?
ba ecrit Holder pour la mesure Pn(y)dy (enfin rho_n(y)dy) ou encore Jensen pour cette mesure avec la fonction convexe x->x^p et ca donne exactement ca, je vois pas trop ce que je peux dire de plus
dans le corrolaire il y à plus d'ouvert borné de Omega :S
le corrolaire c'est la caractérisation* des partie compact de L_p(Omega) pour Omega un ouvert de R^n, donc il y a plus d'histoir d'ouvert omega relativement compact dans Omega... donc comme je te l'ai dit, ta question disparait à ce niveau (l'histoir avec les deux ouverts je pense que meme si ca s'apelle théorème c'est plus un lemme technique...)
* : enfin, il énonce juste que sous certain condition une partie est compact et met en remarque que ces conditions sont une CNS sans le prouver...
pour les 15 min oui sa tiens très bien (à condition de regrouper les deux preuves en une seul)
pour ce qui est des applications... je me rapelle plus vraiment en fait
Ok pour Holder.
En revanche, pour les ouverts, il y a aussi des ouverts relativement compacts inclus dans le grand Omega, dans le corollaire (dans les hypothèses).
Ce qui me perturbe, c'est que dans les hypothèses du héorème (ce que tu appelles lemme), on autorise Omega à être non borné. Pourtant on fait la démo avec Omega borné. Je ne vois pas comment on peut faire cette hypothèse sans restriction...
En revanche, pour les ouverts, il y a aussi des ouverts relativement compacts inclus dans le grand Omega, dans le corollaire (dans les hypothèses). >>> oui mais ils sont tous "sous quantificateur" (on regarde les famille de fonction telle que "pour tous ouvert w..." ou "il existe un ouvert w tel que... ". alors que dans l'énoncé précedant si mes souvenir sont bon on fixe un w relativement compact dans Omega et on regarde qu'elles sont les famille de L^p(Omega) dont l'image dans L^p(omega) est relativement compact. ce qui ne permet pas directement d'avoir un analogue au théorème d'ascolie pour les espaces L^p.
Je ne vois pas comment on peut faire cette hypothèse sans restriction... >>> ah ok.
on à un ouvert Omega et un ouvert w relativement compact dans Omega, et on s'interesse à une famille F de "fonction" dans L^p(w) qui sont des restrictions de fonction de L^p(Omega)
ca ne coute rien de prendre un ouvert Omega' borné contenant l'adhérence de w et inclu dans Omega, alors les fonctions de F sont aussi des restrictions de fonction de L^p(Omega') à w... et appliquer le théorème à L^p(Omega') ou à L^p(Omega) donne exactement la meme conclusion. donc il suffit de le prouver pour Omega'...
Salut Ksilver, et désolé par avance de récidiver ^^
1) J'ai regardé plus en détail le corollaire, et j'ai réfléchi à cette histoire d'ouvert borné ou pas.
Tu m'as convaincu dans le cas du théorème, car on ne regarde qu'un seul ouvert omega relativement compact dans Omega (et donc borné) ; ça ne coûte rien de prendre Omega "un peu plus grand que omega" et donc toujours borné.
Par contre dans le corollaire, il y a cette ligne qui m'ennuie : "on suppose que pour tout epsilon, il existe un ouvert omega relativement compact dans Omega tel que...". Comme il y a une infinité d'epsilon, il y a aussi une infinité de omega, et ils ont beau être tous bornés, leur union ne l'est peut-être pas, et a prioiri, on ne peut pas dire que Omega est borné...
2) Dans la partie a de la démonstration du théorème, il écrit que la famille F est bornée dans Lp, donc aussi dans L1. Est-ce que pour dire ça il fait Holder, et que comme Omega est borné, sa mesure est finie ?
Merci de ton aide !
1) comme je t'ai l'ai dit, dans le corrolaire il n'y à pas d'ouvert omega !!! (celui qui apparait dans l'énoncé est sous un quantificateur, il est muet)
dans la preuve de "th=> corrolaire" on prend un ouvert Omega quelconque et on ne le suppose pas borné (mais on fait rapidement intervenir un ouvert w relativement compact dans Omega auquel on applique le théorème)
2)euh... oui surement... mais j'ai pas le brézis sous la main et mes notes sont profondément enfoui dans un carton quelconque donc je peut pas t'en dire plus...
