Théorème de Riesz Fischer

[invitebb921944]

Bonjour,
J'ai une petite question sur la démonstration du théorème de Riesz-Fischer présente dans le Brezis, dans le cas .

On prend une suite de Cauchy dans et on peut donc écrire qu'il existe tel que
.
Donc par définition, il existe négligeable tel que

Enfin, posant , on voit que pour tout , la suite est de Cauchy dans .

Pourquoi prendre cette union des ?
Pourquoi ne puis-je pas faire le raisonnement avec un arbitraire à la place du et déduire directement que la suite est de cauchy sur ?

En fait je crois avoir un début de réponse.
Notre raisonnement n'est pas valable pour aussi petit que l'on veut puisque pour chaque , l'ensemble négligeable est différent et rien ne nous prouve que l'union de deux n'est pas dénombrable, auquel cas il existe un ensemble non dénombrable sur lequel ma suite n'est pas de Cauchy.
On prend donc pour que l'union reste dénombrable et on conclut.

Sinon, une deuxième question :

Posant .
Montrer que est convexe ssi .

L'implication indirecte est simple, je saisis bien l'implication directe mais je n'arrive pas à la démontrer correctement...

Merci d'avance.
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[invite5ad8e560]

Pourquoi prendre cette union des ?

La réponse que t'a fourni est exacte.

L'implication indirecte est simple, je saisis bien l'implication directe mais je n'arrive pas à la démontrer correctement...

en prend

Supposons et soit a et b atteignant le sup ( est fermé)



mais
d'où la convexité

Le fait que (a,b) est atteint est à développer encore plus.

[invite5ad8e560]

En fait en utilisant des epsilon dans la definition du sup, on peut se passer de l'usage de a et b vérifiant le sup .
La justification que c'est atteind est beaucoup plus compliqué que je ne l'ai cru.

[invitea07f6506]

1) Effectivement, à arbitraire fixé, le début de la démonstration reste bon. Cependant, une union non dénombrable (par exemple sur tous les réels strictement positifs) d'ensembles de mesure nulle n'a aucune raison d'être de mesure nulle... D'où l'intérêt de se ramener à une union dénombrable.

2) Sadben : tu risques d'avoir du mal à démontrer que le sup est atteint, puisqu'il ne l'est pas toujours (là où il y a des tangentes verticales, par exemple).
J'y réfléchirai à une heure un peu plus raisonnable, si personne ne passe avant pour y répondre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Merci pour ces éléments de réponse.

[invitea07f6506]

C'est bon, j'ai l'argument massue pour démontrer le sens direct.

Supposons convexe. Soit son domaine de définition.

D'une part, pour tout ,

Alors la fermeture de est un fermé convexe de .

Soit dans . Soit .

Par Hahn-Banach, on peut séparer strictement et la fermeture de .

De plus, la droite séparant ces deux ensembles ne peut avoir de coefficient directeur infini.

Donc, pour tout dans , pour tout strictement positif, il existe des réels et tels que :
et

Ceci étant valable pour tout strictement positif, on a bien pour tout :


(Oui, j'ai caché des trucs concernant Conv(). Mais ça marche quand même, et ça ne pose aucun problème si la fonction est définie pour tout réel.)

[invitebb921944]

C'est compliqué mais merci bien !