Trouver un réel p tel que le noyau soit en somme directe avec l'image

[invitedf37c698]

Bonjour,

Je suis étudiante en prépa véto, 2ème année, et une question de mon dm de maths me pose une colle :
On me demande de trouver un réel p qui vérifie
1≤p≤n
E= Ker (f^p) + Im (f^p)

Où E est un ev de dim n (2≤n), f un endomorphisme bijectif de E, et ici le symbole "+" signifie en somme directe...

On me demande de donner une valeur de p satisfaisant cette relation. D'instinct, la valeur 1 me vient, seulement je ne vois pas comment le démontrer, à part peut-être en utilisant le théorême du rang. Mais je dois certainement avoir un raisonnement erroné, car pour moi la relation E = Ker (f) + Im(f) est évidente...

Est-ce que quelqu'un pourrait m'éclairer svp ?

Merci d'avance

Yesbut
-----

[invite57a1e779]

Bonjour,

E est un ev de dim n (2≤n), f un endomorphisme bijectif de E

Au vu de l'hypothèse, que valent et ?

Plus généralement que valent et ?

[invitedf37c698]

f étant bijectif, Ker (f) = 0, et Im(f) = E.
Donc il suffit de dire ça pour justifier qu'on prend p = 1 ?

[invite57a1e779]

f étant bijectif, Ker (f) = 0, et Im(f) = E.
Donc il suffit de dire ça pour justifier qu'on prend p = 1 ?

GRRR... !!!

Il me semble que n'est pas très difficile à établir, donc à justifier que convient.

L'endomorphisme est-il bijectif ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedf37c698]

GRRR... !!!

Ce n'est pas ce que j'ai écrit ??

Pour f^p il me semble qu'à partir du moment où f est bijectif, f^p est bijectif ?

(Jsuis pas super à l'aise en algèbre linéaire... dsl)

[invite57a1e779]

Ce n'est pas ce que j'ai écrit ??

Non ! Tu as écrit au lieu de , or le noyau n'est pas un vecteur, mais un ensemble de vecteurs, tu en es encore à confondre le vecteur et le singleton .

Pour f^p il me semble qu'à partir du moment où f est bijectif, f^p est bijectif ?

Oui est bijectif pour tout , donc .

[invitedf37c698]

D'accord merci. Le but de cette partie de mon dm étant de démontrer que pour tout endomorphisme f il existe un entier p qui vérifie la relation donnée plus haut.
La première question prend le cas d'un endormophisme bijectif. Mais je suppose que ça va être différent pour un endomorphisme non bijectif.( dans les questions d'après, l'exemple pris pour étude est injectif seulement)