Système d'équation et tan-1

[invitea674c8fa]

Salut tous,

Pour le bon déroulement d'un projet électronique je dois résoudre un problème purement mathématique, cependant mes années fac sont loin maintenant, et je n'ai plus mes réflexes d'étudiant pour les développements mathématiques, je demande donc un peu d'aide ou des pistes à suivre pour le résoudre par équation ou graphiquement peu importe.


Un personnage regarde un objet situé à une distance D et à une hauteur H au moins égale à la taille du personnage (le personnage n'aura jamais a baisser les yeux pour regarder l'objet). Il s'agit donc de déterminer l'angle de vision en fonction de la hauteur et de l'éloignement de l'objet. (pour simplifier, la hauteur du personnage est la hauteur de ses yeux).
- Distance au sol personnage/objet = D
- Hauteur à laquelle est fixé objet = H
- Hauteur du personnage = P

1) Angle = tan-1 ((H-P)/D)

Maintenant, pour prendre en compte la majorité des personnes, il faut tenir compte que P est compris entre 1.5 et 2m, on obtient donc:

2) Pmin + 0.5 = Pmax

Je cherche donc à déterminer pour quels couples {Hauteur;Distance} la différence entre l'angle de vision du petit et du grand personnage sera supérieure ou égale à 5°.

Est ce qu'en posant l'équation suivante, et en utilisant le développement de tan(a+b) = (tan(a) + tan(b))/(1 - tan(a)tan(b)) je vais m'en sortir? ou me trompe je de méthode?

5° + tan-1 ((H-Pmin)/D) = tan-1 ((H-Pmin-0.5)/D)


Merci d'avance les matheux.
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[invitea674c8fa]

J'ai essayé de développer, mais j'obtiens du second ordre pour les 2 variables, donc je bloque, personne pour me mettre sur une piste? ou reposer le probleme correctement?

Merci

[Médiat]

J'ai essayé de développer, mais j'obtiens du second ordre pour les 2 variables, donc je bloque, personne pour me mettre sur une piste? ou reposer le probleme correctement?

Tu écris la relation entre les deux variables comme une équation du second degré pour l'une d'elle et tu résouds en considérant l'autre comme un paramètre (mais le résultat risque de ne pas être très beau).

[invitea674c8fa]

Je ne suis pas persuadé d'avoir posé le problème correctement, comme un dessin vaut mieux qu'un long discours, je rajoute des croquis en pièce jointe.


Le but de la manip est de rechercher à partir de quel couples {D;H} la différence Alpha - Bêta est supérieur à 5°

L'inéquation posée devient donc:

tan-1 ((H-Tmin)/D) - tan-1 ((H-Tmax)/D) > 5

Avec Tmin = 1.50m et Tmax= Tmin+0.5



PS: j'ai rajouté ma recherche de solutions par tâtonnement pour illustrer ce que je veux obtenir: en rouge, les couples {D;H} qui provoquent une différence Alpha-Bêta > 10° et en jaune les couples {D;H} qui provoquent une différence Alpha-Bêta > 5°.

[A voir en vidéo sur Futura]