Matrices et projection centrale

[invite8bf71a88]

Bonjour,
je suis en sup et n'ai pas encore vu le cours sur les matrices.

1. Ou puis je trouvé un bon cours sur les matrices sur le net ?

J'aimerai pouvoir prouver que l'application projection centrale est une homographie :

2. Comment prouver qu'une projection centrale est une homographie ?

Et enfin n'ayant pas vu les matrices, j'ai du mal à comprendre pourquoi la matrice représentative d'une homographie (ou d'une projection centrale ?) est une matrice 3x3 ...
Passant d'un espace à 3 dimensions à un espace à 2 dimensions, j'aurais plutôt vu une matrice 2x3 !?

3. Comment prouver que sa matrice représentative est une matrice 3x3 ?

Merci...
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[invitec053041c]

Salut et bienvenue à toi sur le forum,

Avant tout, avez-vous déjà débuté le cours sur l'algbre linéaire/les espaces vectoriels ?

[invite8bf71a88]

J'ai vu rapidement ce qu'était un espace vectoriel mais je n'crois pas avoir réellement commencé "le" cours sur les espaces vectoriels ...

[invite8bf71a88]

J'ai vu rapidement ce qu'était un espace vectoriel mais je n'crois pas avoir réellement commencé "le" cours sur les espaces vectoriels ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8bf71a88]

Autre chose que je n'comprends pas :

comment peut-on passer d'un espace à 3 dimensions à un espace à 2 dimensions avec une fonction du type z => (az+b)/(cz+d) (définition de l'homographie) ?

[invite8bf71a88]

Personne ne sait faire ça ou c'est juste pas possible ?

[invite57a1e779]

La projection centrale n'est pas bijective, ce n'est pas une homographie.

[invite8bf71a88]

Hum... oui tu as raison... merci :s

Je crois avoir trouvé la source de mon erreur :
si on se restreint au cas de la projection centrale d'un plan (quelque soit son inclinaison/orientation).

Dans ce cas particulier, il me semble qu'on a bien une bijection ?
Mais comment porouver que c'est une homographie ?

[invite57a1e779]

Il me semble que tu es en train de confondre deux notions : une homographie en tant que transformation projective bijective, et le cas particulier des homographies de la droite projective complexe qui ont une expression analytique simple.

Une projection centrale est une bijection entre un plan P (que l'on projette) et un plan P' (sur lequel on projette). Il faut alors prendre des repères de ces plans, et déterminer analytiquement la relation entre l'affixe z d'un point M de P et l'affixe z' de son projeté M' sur P'.

[invite8bf71a88]

Hum je t'ai pas entièrement suivi je crois

J'ai compris qu'une projection centrale était une application bijective dans le cas (plan=>plan).
En revanche dans le cas (espace 3D=>plan), elle ne l'est plus (c'est en tout cas l'interprétation que j'ai faite de ton message plus haut).
Ces deux résultats me paraissent assez logiques.

le cas particulier des homographies de la droite projective complexe qui ont une expression analytique simple

Par contre là je ne te suis plus, je n'ai peut-être pas encore les connaissances nécessaires pour tout comprendre.

Pour mieux expliquer mon problème :
- on prend une photographie d'une façade d'immeuble
=> on est donc (je pense) dans le cas d'une projection centrale entre un plan (façade de l'immeuble) et un autre plan (euh pellicule ?).
=> et donc on a bien une homographie !

Mais je ne vois absolument pas comment prouver ça... (si tant est que je n'ai pas fait d'erreur dans mon raisonnement précédent)...

[invite57a1e779]

Pour mieux expliquer mon problème :
- on prend une photographie d'une façade d'immeuble
=> on est donc (je pense) dans le cas d'une projection centrale entre un plan (façade de l'immeuble) et un autre plan (euh pellicule ?).
=> et donc on a bien une homographie !

OUi, on a une homographie, au sens d'application projective bijective d'un espace projectif dans un autre.

Ici tes espaces projectifs sont des plans (celui qui contient la façade et celui qui contient la pellicule) réels, qui ont une droite de points à l'infini : un pour chaque direction de droite, qui est le point de la ligne de fuite en lequel deux parallèles se coupent en perspective, ou encore le point à l'infini en lequel se rejoignent les deux rails d'une voie ferrée.

L'homographie complexe est une application projective bijective, mais d'une droite dans une autre, la droite qui contient en tant qu'espace vectoriel de dimension 1 sur lui-même : cette droite, n'a dans on unique direction, qu'un point à l'infini ; son image par l'homographie est , et son image réciproque est .

Ton problème vient que tu utilises dans un cas en tant que -espace vectoriel de dimension 2, et dans l'autre en tant que -espace vectoriel de dimension 1.