Bonjour, j'ai un problème théorique à résoudre. Je pensais que la projection d'une ellipse sur un plan par une projection centrale donnait une forme quelconque, mais il s'avère que cette forme ressemble fort à une autre ellipse !!!!!
Cela me pose un problème et j'aimerais être sûr que mathématiquement la projection d'une ellipse sur un plan par projection centrale donne une ellipse.
Merci de me répondre si vous connaissez la réponse ou si vous savez me le démontrer.
Salut et bienvenue,
à première vue je pense que la projection centrale d'un ellipse est une conique, mais je ne pense pas que ce soit toujours une ellipse.
Par exemple, on se donne un plan P (disons Oxy) et une ellipse E dans un plan perpendiculaire (disons Oyz). Soit C(0, 0, zc) le centre de cet ellipse et soit S le point de coordonnées (-1, 0, zc): alors l'image de E par la projection centrale de centre S sur le plan P ne ressemble pas à un ellipse mais à une hyperbole.
Cordialement.
EDIT: pour fixer les idées, fait un dessin avec E "au-dessus" de P.
Je ne suis pas trop sûr mais j'ai l'impression que ce n'est pas vrai.
En effet, la formule qui lie le point (x,y,z) de l'ellipse au point (X,Y,Z) de sa projection n'est en général pas linéaire.
La courbe projetée ne sera alors pas du 2ème degré, sauf cas particulier où les 2 plans sont parallèles.
Ce qu'on cherche, c'est l'intersection d'un cône à base elliptique avec un plan non ? Ca doit bien donner une conique.
L'art de reformuler simplement un problème: la classe!Envoyé par matthias
A la louche, je pense aussi, mais ce n'est pas un argument.
Et si on transforme le cône à base elliptique en cône de révolution par une affinité qui laisse le plan de projection invariant ?
Ou tout simplement en parlant de l'intersection d'une quadrique et d'un plan ...
Ca me paraît en effet le plus direct.
Salut tout le monde,
Si on prend l'équation carthésienne d'un plan (a1.x+a2.y+a3.z=a4) et qu'on la passe dans l'équation réduite d'un cône elliptique (z^2/h^2 = x^2/a^2 + y^2/b^2), on obtient bien en développant une équation du type: A.x^2 + 2B.x.y + C.y^2 + 2D.x + 2E.y + F =0
Donc c'est gagné, c'est bien l'équation d'une cônique, non ????
si AC - B^2 > 0, c'est une ellipse
si AC - B^2 < 0, c'est une hyperbole
si AC - B^2 = 0, c'est une parabole
Si quelqu'un s'apperçoi que j'écris des conneries, n'ésitez pas à me le faire savoir.
C'est tout à fait ça, d'ailleurs c'est une méthode intuitive pour déterminer parfois la tête d'une quadrique (regarder des plans de coupe)
