Bonjour
Alors en fait j'ai un problème pour résoudre l'équation x^2-x=0modulo 77.
En cours on a vu un exemple de ce genre et il fallait faire
0^2-0=0 donc 0 est une réponse
1^2-1=0 donc 0 est une réponse
2^2-2=2
3^3-3=6
On s'était arrêter ici car on avait 0 modulo 4 mais ici comment faire avec un modulo 77, on ne va pas s'amuser à essayer 77 fois.
Comment faut-il faire??
Merci d'avance
Cela s'écrit x(x-1)=0
Quelles sont les possibilités de multiplication de deux nombres pour que leur produit valent 0 modulo 77?
Attention : 77 n'est pas premier...
Cordialement,
pour simplifier ton probleme, tu peux utiliser le fait que u = 0 [77] <=> (u = 0 [7] et u = 0 [11]), car 7 et 11 sont premiers entre eux. Et maintenant tu peux resoudre ce systeme en utilisant le fait que Z/7Z et Z/11Z sont des anneaux integres (ou y aller à la main si tu ne le sais pas)
Ou invoquer le théorème des restes chinois, si c'est connu et/ou au programme...
Cordialement,
indication : il y a 2x2 solutions
D'accordEnvoyé par Hamb
Je comprends que u=0[7] et 0[11]
Mais après je dois faire comment pour résoudre cela?
0 : 0 [7]
1 : 0 [7]
2 : 2 [7]
3: 6 [7]
4 : 12 [7] = 5 [7]
5 : 20 [7] = 6 [7]
6: 30 [7] = 2 [7]
Je fais la même chose avec 11?
C'est une méthode. Longue, mais qui marche.
Sinon, il y a un théorème sur les solutions de xy=0 modulo un nombre premier, et cela donne tout de suite les solutions de x(x-1)=0 modulo un nombre premier.
Cordialement,
0 : 0 [7]
1 : 0 [7]
2 : 2 [7]
3: 6 [7]
4 : 12 [7] = 5 [7]
5 : 20 [7] = 6 [7]
6: 30 [7] = 2 [7]
Pour modulo 11 je trouve :
0 : 0 [11]
1 : 0 [11]
2 : 2 [11]
3 : 6 [11]
4 : 12 [11] = 1 [11]
5 : 20 [11] = 9 [11]
6 : 30 [11] = 8 [11]
7 : 42 [11] = 9 [11]
8 : 56 [11] = 1 [11]
9 : 72 [11] = 6 [11]
10 : 90 [11] = 2 [11]
et maintenant comment trouver le résultat?
Et sinon c'est quoi le théorème??
Z/11Z et Z/7Z sont des anneaux intégres (meme des corps) car 7 et 11 sont premier
tu sais donc que : un polynome de degré n à au plus n solution, tu aurait donc pu t'arreter dès que tu en avais deux. mais on pouvait faire encore mieux :
x^2-x=0 donne x(x-1)=0 et dans un anneau intégre xy=0 <=> x=0 ou y=0 donc x(x-1)=0 <=> x=0 ou x=1
donc il y avait rien à faire ^^
pour trouver le résultat pour Z/77Z, le théorème chinois (connais tu ? ) nous dit que Z/77Z =(Z/7Z)*(Z/11Z)
on à donc 4 solutions : 0, 1, et deux autre qu'on va appeller x et y, qui sont caractériser x=0[7], x=1[11], y=0[11],y=1[7], il ne reste plus qu'a trouver les elements de Z/77Z qui vérifie ces congruences ^^
je fais x :
x=0[7], donc x=7k et x=1[11] donc 7k=1[11], k est l'inverse de 7 modulo 11, on cherche une relation de bezout entre 7 et 11 :
11-7=4
7-2*4=-1
7-2*(11-7)=-1
2*11-3*7=-1
qui donne en résuisant modulo 11 : (-3)*7=1[11]
or -3=8[11]
donc k=8, x=7*8=56
(on vérifie qu'on a bien x=0[7], x=1[11], et donc x(x-1)=0[77]
fais pareil pour y !
Merci beaucoup, j'ai trouvé 22 pour y et puis j'ai vérifié ça marche!!
