Espace Vectoriel, avancé

[invite84d6700e]

Bonjour, mon professeur m'a demander de répondre à cette question dont j'ignore.

Q. Soit B = (b1,b2,b3) = (1, 1+x, 1+x+x^2), une base pour P2, l'espace vectoriel des polynomes de degré <ou= 2. Soient P1= -1+x, P2= 3x+3x^2 et P3= 2-5x-3x^2

A) Trouvez les vecteurs des coordonnées B[Ps] par rapport à la base B de P1,P2,P3.

b) Ecrivez un vecteur des coordonnes de a) comme une combinaison linéaire des autres.

c)En utilisant b), ecrivez un des P1,P2,P3 comme combinaison lineaire des autres.

D) Long et DIfficile:

Soit C = (1,x,x^2) la base canonique de P2. Trouvez C[b1], C[b2], C[b3] et mettez ces trois vecteurs comme des colonnes dans une matrice cMb = ( c[b1] c[b2] c[b3] ). Verifiez que la multiplication de cette matrice par les vecteurs des coordonees de Ps par rapport à B (trouvé à la question a) vous donne les vecteur des coordonnees par rapport a C, c-a-d que C[Ps]=cMb b[Ps] ou s=1,2,3.

On appelle cMb la matrice passage de la base B a la base C. Notez qu'on peut remplacer Ps par tout element de P2 dans cette formule, qui nous donne une facon simple de calculer le changement de coordonnees. Souvent, on a les coordonnees par rapport a C et on les cherche par rapport a B. Ainsi on a donc besoin de la direction inverse B[P] = bMc c[P]. En utilisant cet équation et le fait que bMc = (cMb)^-1, Trouvez les coordonneés par rapport a B du polynome P=3+2x-9x^2

Merci de prendre de votre temps.
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[invite4793db90]

Salut,

tu en es où? C'est la dernière question qui te pose porblème?

Sinon, je trouve que l'énoncé n'est pas très clair! (mais alors pas du tout)

Cordialement.

[invitec314d025]

Sinon, je trouve que l'énoncé n'est pas très clair!

Pas très français non plus ...

[inviteb303666e]

Bonjour,

Je veux pas paraitre rabat-joie, integra11, mais j'ai l'impression que c'est ni plus ni moins que de la division euclidienne de polynomes. Faut juste bien concevoir que tes vecteurs de bases sont des polynomes.
Allez bon courage et bon WE !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec314d025]

Pas vraiment besoin de division euclidienne.
Cela dit j'ai du mal à comprendre pourquoi l'intitulé du post est "Espace Vectoriel, avancé". C'est surtout le "avancé" que je trouve abusif

Et pour integra11, quand tu postes un exercice complet, essaye de montrer que tu as réflechi au problème et explique ce que tu n'arrives pas à démontrer.

[inviteb303666e]

Désolé je m'avance peut etre mais je croyais que la division des polynomes etait une forme de division euclidienne, et Wikipédia semble être d'accord :

Division euclidienne

En algèbre commutative, une attention particulière est portée sur l'étude de la divisibilité entre les polynômes. Si f et g sont des polynômes dans A[X], nous dirons que f divise g s'il existe un polynôme q dans A[X] tel que f q = g. On peut démontrer alors que «chaque racine engendre un facteur linéaire», ou plus formellement: si f est un polynôme dans A[X] et a est un élément de A tel que f(a) = 0, alors le polynôme (X - a) divise f. La réciproque est aussi vraie. Le quotient peut être calculé en utilisant la méthode de Hörner.

Si K est un corps et f et g sont des polynômes dans K[X] avec g ≠ 0, alors il existe des polynômes q et r dans K[X] avec :f = q g + r et tels que le degré de r soit strictement plus petit que le degré de g. Les polynômes q et r sont uniquement déterminés par f et g. C'est ce que l'on appelle «la division euclidienne» ou «la division suivant les puissances décroissantes» de f par g et cela montre que l'anneau K[X] est un anneau euclidien.

cf. : Article de Wikipedia

[invitec314d025]

Jamais dit le contraire, juste que ça n'est pas vraiment nécessaire pour résoudre le problème posé.

[inviteb303666e]

Ah désolé, j'avais compris ca.
Cela dit, dans un cadre plus général de décomposition de polynomes dans une base de type non canonique, c'est toujours pratique de connaitre le principe de la division euclidienne des polynomes. C'est ce que moi j'utilisais dans certaines démos il y a bien longtemps en prépa (c'etait l'an passé mais le cerveau a tendance à occulter les évènements facheux) , je ne dis pas que ca servira ici ou dans d'autres décompositions ... considérons juste cette remarque à titre informatif pour se mettre d'accord
Bon WE.

[invite4793db90]

La division euclidienne sert plutôt quand on regarde K[X] avec sa structure d'anneau (en particulier si on quotiente).

Là, il s'agit d'un problème linéaire: on regarde R[X] en tant que R-ev.
C'est donc des "+" et des "-".

[inviteb303666e]

Ah oué exact, mince ca me fait tout drole d'y repenser

De toutes facons, on tergiverse (surtout moi) pour rien : en dimension 3 c'est pas bien méchant de ne serait-ce qu'intuiter la décomposition en vecteurs de la base.
Sur ce, j'arrete de déconner et je vais bosser ma physique stat
Bon apres midi