Bonjour à tous,
J'ai un petit probleme a résoudre, je demande donc votre aide:
Voici l'equation différentielle: Y'=aY(1-Y) (E)
Question: Vérifier que l'équation u(t)= 1/(1+9e(-at)) est solution de (E).
Je dois donc remplacer y par u(t) mais je n'arrive pas a résoudre.
Quelqu'un peut m'aider?
Merci.
la fonction.Envoyé par space57
oui.
pas de problème
Bonsoir:
Y'=aY(1-Y)
dy/dx = y'(x) = ay( 1 - y)
dy/[y( 1 -y) ] = a dx variables separables
Le premier membre il s'agit de determiner la primitive de 1/[y( 1 -y) ] relativement à y.
le deuxieme membre c'est la primitive de a relativement à x.
1- Premiere primitive: on decompose en elements simples 1/[y( 1 -y) ]:
1/[y( 1 -y) ] = A/y +B/(1-y) = 1/y + 1/(1-y) par identification on trouve A et B.
Implique :
la primitive ( dy/[y( 1 -y) ]= la primitive ( dy/y) +la primitive ( dy/( 1 -y) )
= log(y) - log ( y-1)
2- deuxieme primitive : la primitive ( adx) = ax +K
Finalement : log(y) - log ( y-1) = ax + K
log ( y/(y-1)) = ax + K
y/(y-1) = exp(ax + K)
y = y.exp(ax + K) - exp(ax + K)
y(1 - exp(ax + K)) = - exp(ax + K)
y = - exp(ax + K)/[1 - exp(ax + K)]
Si on prend K = 0 ( normalement K ça depend des conditions initiale (x = t))
y = - exp(at)/[1 - exp(at)]
y = exp(at)/[ exp(at) - 1]
y = 1 / [ 1 - exp(-at) ] CQFD
ceci est une methode de resolution de ton équation
