racine n ieme de l unite
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 30 sur 30

racine n ieme de l unite



  1. #1
    invite45e9edca

    racine n ieme de l unite


    ------

    Bonjour

    J aurais besoin d un coup de main pour avoir une ligne de depart.
    Je cherche a demontrer que le produit des longueurs des (n-1) cordes reliant n points d un cercle est egal a n.
    Enfin ca c est que pour le contexte. Pour arriver a cela il me faudrait demontrer que (1-w2)(1-w3) ... (1-wn)=n
    avec w1=1, w2, w3, ..., wn les racines complexes de 1.

    Je cherche une piste de depart ....

    Merci beaucoup

    -----

  2. #2
    invite6985b48f

    Re : racine n ieme de l unite

    Tu peut peut être faire intervenir les angles moitiés de chaque racine
    (1-wi) se simplifie alors en factorisant par cos(angle moitié)
    On est rapporté à une multiplication de n cosinus et de n exponentielles complexes

  3. #3
    Sylvestre

    Re : racine n ieme de l unite

    Citation Envoyé par Armellle Voir le message
    Je cherche une piste de depart ....
    Salut,

    Essaie de trouver un polynôme qui a les racines nièmes de l'unité comme racines. Cela t'aidera beaucoup.

  4. #4
    invite1cb6410a

    Re : racine n ieme de l unite

    bonjour
    remarque que

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite18e20825

    Re : racine n ieme de l unite

    tu es sure de ton résultat JUVE ou alors j'ai 3 trains de retard
    c'est pas plutôt

  7. #6
    invite45e9edca

    Re : racine n ieme de l unite

    Citation Envoyé par Sylvestre Voir le message
    Salut,

    Essaie de trouver un polynôme qui a les racines nièmes de l'unité comme racines. Cela t'aidera beaucoup.
    En fait j'avais essayé de faire w^n=1, d w^n=0 et la j'avais pris un polynome, mais ca m'avance a rien puisque de toute façon c'est égal a 0 (et c'est logique puisque 1 est une des racines n iemedonc ca m'avancait pas ...

    Sinon pour les autres, ca fait partie des questions suivantes, donc faut que j'utilise autre chose ...

  8. #7
    invite1cb6410a

    Re : racine n ieme de l unite

    CERTAIN puisque

  9. #8
    invite45e9edca

    Re : racine n ieme de l unite

    Citation Envoyé par JUVE9864 Voir le message
    CERTAIN puisque
    Je peux pas m'en servir car c'est un résultat qu'on me demande de prouver dans la question d'parès ....

  10. #9
    inviteaf1870ed

    Re : racine n ieme de l unite

    Une méthode par les polynômes : les racines n-ièmes de l'unité sont racines du polynôme Xn-1, donc les Zi=1-wi sont racines du polynôme (1-Z)n-1
    Développe ce dernier polynôme et prend le produit des racines non nulles.

  11. #10
    invite18e20825

    Re : racine n ieme de l unite

    oui excuse moi JUVE ta raison il y a 2 "écritures" :
    somme géométrique.
    et aussi
    factorisation polynôme

  12. #11
    invite45e9edca

    Re : racine n ieme de l unite

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Une méthode par les polynômes : les racines n-ièmes de l'unité sont racines du polynôme Xn-1, donc les Zi=1-wi sont racines du polynôme (1-Z)n-1
    Développe ce dernier polynôme et prend le produit des racines non nulles.
    J'essaye, mais je vois pas trop ou ça mène ...

    J'arrive à (1-Z)^n -1= (w2*w3*w4*...*wn)-1

  13. #12
    inviteaf1870ed

    Re : racine n ieme de l unite

    Non ta formule n'est pas juste : wi n'est pas racine du polynôme que je t'ai donné.
    Il te faut développer le polynôme (1-X)n-1 sous la forme :
    (-1)nXn+.....
    Les racines de ce polynôme sont exactement les (1-wi), y compris quand wi=1;
    Tu divises ce polynôme par X pour obtenir le polynôme dont les racines sont les (1-wi) pour wi différent de 1

  14. #13
    invite45e9edca

    Re : racine n ieme de l unite

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Non ta formule n'est pas juste : wi n'est pas racine du polynôme que je t'ai donné.
    Il te faut développer le polynôme (1-X)n-1 sous la forme :
    (-1)nXn+.....
    Les racines de ce polynôme sont exactement les (1-wi), y compris quand wi=1;
    Tu divises ce polynôme par X pour obtenir le polynôme dont les racines sont les (1-wi) pour wi différent de 1
    En fait je comprend vaguement l'idée mais j'arrive pas à cerner plus ...
    Je crois que je vais aller voir avec mon chargé de cours tout à l'heure pour qu'il m'explique (enfin si il veut bien ...)
    Merci en tout cas.

  15. #14
    inviteaf1870ed

    Re : racine n ieme de l unite

    Voici l'idée : les wi sont les racines du polynôme Xn-1

    Quel est le polynôme dont les racines sont exactement les 1-wi ?

  16. #15
    invite45e9edca

    Re : racine n ieme de l unite

    Bah (1-X)^n -1 jusque la j'avais compris :P

  17. #16
    inviteaf1870ed

    Re : racine n ieme de l unite

    Développe le polynôme, le terme constant va disparaître, donc tu vas avoir un polynôme
    (-1)nXn+(-1)n-1nXn-1+...+nX

    OK ?

  18. #17
    invite45e9edca

    Re : racine n ieme de l unite

    Mmmh en fait je ne comprend pas trop comment tu le developpes ...

  19. #18
    inviteaf1870ed

    Re : racine n ieme de l unite

    le binôme de Newton pour (1-X)n ?

  20. #19
    invite45e9edca

    Re : racine n ieme de l unite

    Oui c'est ce que j'essaye d'utiliser mais je trouve pas la même chose ^^

  21. #20
    inviteaf1870ed

    Re : racine n ieme de l unite

    Que trouves tu ?

  22. #21
    invite45e9edca

    Re : racine n ieme de l unite

    (1-X)^n = n*1^(n-1)*(-X) + (n(n-1))/2 * 1^(n-2)(-X)²+ ....

  23. #22
    inviteaf1870ed

    Re : racine n ieme de l unite

    Regarde bien : ta formule n'est pas valable pour n=2 !

  24. #23
    invite45e9edca

    Re : racine n ieme de l unite

    Effectivement, ....

    pourtant c'est bien ça

    la formule de depart du binome de newton ?

  25. #24
    inviteaf1870ed

    Re : racine n ieme de l unite

    Oui donc tu vas trouver quoi pour k=1 ?

  26. #25
    invite45e9edca

    Re : racine n ieme de l unite

    n * 1^(n-1) * (-X)

  27. #26
    inviteaf1870ed

    Re : racine n ieme de l unite

    Ah bon ? Tu es sure que le coefficient binomial Cn1, cela vaut n*(n-1)/2 ?

  28. #27
    invite45e9edca

    Re : racine n ieme de l unite

    euh bah pour moi c'est (n!)/(k!(n-k)!)

    donc si k=1 (n!)/(1!(n-1)!)=(n!)/((n-1)!)=n non ?

    si k=2 (n!)/(2!(n-2)!)= (n(n-1))/2

    Ca m'parait logique pourtant, mais je dois me tromper alors ...

  29. #28
    inviteaf1870ed

    Re : racine n ieme de l unite

    Non c'est bon, donc le coefficient de X est -n, et donc il te faut diviser par -X pour enlever la valeur wi=1, je te laisse finir

  30. #29
    invite45e9edca

    Re : racine n ieme de l unite

    DOnc ca me ferai


    [(1-X)^n]/(-X) = [n*1^(n-1)*(-X) + (n(n-1))/2 * 1^(n-2)(-X)²+ .... ]/(-X)

    =n*1^(n-1) + (n(n-1))/2 * 1^(n-2)(-X)+ .... + (-X)^(n-1)

    Mais je vois pas quoi faire de ça par rapport a ce que ej cherche à demontrer, je suis un cas désespéré la je crois

  31. #30
    invite45e9edca

    Re : racine n ieme de l unite

    Bon en fait l'énoncé n'était pas clair ....

    ce qu'il faut montrer c'est que la longueur des cordes d'un cercle de rayon 1 est |1-w2|*|1-w2|* ... * |1-wn|

    c'était donc pas des () mais des modules ...

Discussions similaires

  1. Fonction racine n-ième
    Par inviteea8ef274 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 7
    Dernier message: 16/11/2008, 15h29
  2. Racine n-ième
    Par inviteea8ef274 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 1
    Dernier message: 21/10/2008, 22h24
  3. racine n ième sur ma calculatrice?
    Par invite6331fe94 dans le forum Électronique
    Réponses: 2
    Dernier message: 20/03/2007, 16h28
  4. ??? Racine n-ième de l'unité ???
    Par invite39b6d083 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 6
    Dernier message: 09/09/2006, 17h19
  5. racine n-ième et équation de degré 6
    Par invitec1e39d91 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 1
    Dernier message: 07/10/2003, 19h08