Espaces de Hilbert & tranformations linéaires

[invite947ee6e5]

Bonjour,

Voilà mon probleme:
Soit T une transformation linéaire de H dans H', 2 espaces de Hilbert.
Montrer que si H est de dimension finie, alors T est automatiquement bornée.

Pour l'instant, j'ai essayé de raisonner par l'absurde. Je suppose H de dimension finie - donc on peut dire H = R^d, puisque H est homeopmorphe a R^d pour un d donné. Ensuite je suppose T non borné : pour tout naturel B, il existe x dans R^d tel que ||Tx||>B||x||.
Mais là, je suis bloqué, je vois pas comment m'en sortir avec une contradiction.

Une idée ?
Merci.
-----

[invite54165721]

Bonjour

T étant linéaire, on ne s'en sort pas avec les normes des images de la base et quelques inégalités triangulaires (pour l'image d'un vecteur qq de norme 1)?

[invite0fb72cf8]

Bonjour,

Voilà mon probleme:
Soit T une transformation linéaire de H dans H', 2 espaces de Hilbert.
Montrer que si H est de dimension finie, alors T est automatiquement bornée.

Pour l'instant, j'ai essayé de raisonner par l'absurde. Je suppose H de dimension finie - donc on peut dire H = R^d, puisque H est homeopmorphe a R^d pour un d donné. Ensuite je suppose T non borné : pour tout naturel B, il existe x dans R^d tel que ||Tx||>B||x||.
Mais là, je suis bloqué, je vois pas comment m'en sortir avec une contradiction.

Une idée ?
Merci.

Si ton e.v est de dimension finie, il admet une base finie, soit {ei}. Prend C = sup_i ||T ei || < infini . Alors tu devrais pouvoir montrer que, pour tout vecteur unitaire v:
|| T v || < C d
ce qui revient à montrer que ton opérateur est borné. En dimension infinie, tu ne peux pas garantir que sup_i ||T ei || < infini.

A+

Ising