Polynôme et équation différentielle

[invitec646c356]

Bonjour à tous.

Je suis en MPSI et j'ai un DM sur les polynômes à faire pendant les vacances.

On a:

n entier naturel non nul.
(F[n],G[n]) un couple de polynômes tels que:
F[n]*(1+X)^n+G[n]*X^n=1 (R)
avec deg(F[n])<=n-1 et deg(G[n])<=n-1

J'ai montré dans les premières questions que cette équation admet une unique solution avec les conditions de degré précedente:
F[n] est la somme pour k=n à 2n-1 de
(k parmi 2n-1)*(1-X)^(k-n)*X^(2n-1-k)
G[n] est la somme pour k=0 à n-1 de
(k parmi 2n-1)*(1-X)^k*X^(n-1-k)
On a également vu que G[n](X)=F[n](1-X) (composition de polynômes)

On prend maintenant n>=2 et on veut démontrer que F[n] est solution sur R de l'équation différentielle:
n*y-(1-x)*y'=n*(n parmi 2n-1 )*x^(n-1)
L'énoncé indique "On pourra utiliser la relation (R) et raisonner en terme de divisibilité.
Comment faire?? J'ai essayé de travailler avec les sommes je ne parvient pas à simplifier. Et je ne vois pas comment travailler par divisibilité.

Voilà c'est un peu long j'espère que vous vous y retrouverez (désolé je ne sais pas faire les symboles mathématiques!).
Merci d'avance!!
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[invitec646c356]

Svp ne m'oubliez pas!
Si vous pouviez au moins me donner quelques pistes de recherche... ça me bloque totalement pour le reste du problème!!!
Merci!

[invitea41c27c1]

F[n]*(1+X)^n+G[n]*X^n=1

N'est-ce pas plutot : F[n]*(1-X)^n+G[n]*X^n=1 ??

Sinon pour trouver l'equation differentielle:
En derivant R on obtient :

.

Comme et sont premiers entre eux, on a , et en fait comme ils ont le meme degre, ils sont associés, donc on en deduit que est proportionelle a , et pour trouver la constante tu regares le terme dominant.

[invitec646c356]

Yes merci merci Garnet!!!
J'étais sur le point de détruire mon dm !!
Bonne journée.
p.s: je m'étais effectivement trompé dans l'énoncé.

[A voir en vidéo sur Futura]