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Fonction de répartition du rapport de deux gaussiennes



  1. #1
    elaim

    Fonction de répartition du rapport de deux gaussiennes


    ------

    Bonjour,
    Mon problème est le suivant :
    Z = X/Y, avecX, Y et Z des variables aléatoires. X et Y sont deux variables gaussiennes indépendantes X~N(mx,sx²) et Y~N(my,sy²). Je cherche à obtenir une expression de la fonction de répartition de Z.
    Pourriez-vous m'aider ?
    Merci d'avance.

    -----

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  3. #2
    lapin savant

    Re : Fonction de répartition du rapport de deux gaussiennes

    Salut,
    exprime la densité de probabilité de Z, puis intègre (j'espère seulement que le calcul de l'intégration ne sera pas trop difficile...).

    Sinon, passe par l'interprétation de la fonction de répartition en termes de probabilités.
    "Et pourtant, elle tourne...", Galilée.

  4. #3
    elaim

    Re : Fonction de répartition du rapport de deux gaussiennes

    Salut,
    C'est ce que j'essaye de faire mais les intégrales sont incalculables.

  5. #4
    invite986312212
    Invité

    Re : Fonction de répartition du rapport de deux gaussiennes

    salut,

    si les variables sont indépendantes et les moyennes nulles, c'est la loi de Cauchy :
    http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution
    sinon il existe des approximations, je crois que Geary avait travaillé là-dessus.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    elaim

    Re : Fonction de répartition du rapport de deux gaussiennes

    En passant par l'esperance conditionnelle, j'obtiens l'intégrale suivante :

    integrale(0,x/z)(1/sx)*exp(-0.5*((1/y -m)/sx)²)dy

    sais-tu intégrer cette intégrale ?

  8. #6
    invite986312212
    Invité

    Re : Fonction de répartition du rapport de deux gaussiennes

    bah non, la densité gaussienne s'intègre pas, c'est bien connu.

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  10. #7
    elaim

    Re : Fonction de répartition du rapport de deux gaussiennes

    si elle s'intègre avec la fonction erreur, l'introduction de cette fonction ne me gène pas bien qu'elle soit une intégrale.

  11. #8
    invite986312212
    Invité

    Re : Fonction de répartition du rapport de deux gaussiennes

    la fonction erreur, ce n'est jamais un nom qu'on donne à une intégrale qu'on ne sait pas calculer, mais si ça te convient...

    autrement j'ai retrouvé le papier de Geary:
    http://www.jstor.org/sici?sici=0952-...-V&cookieSet=1
    si tu ne peux pas le récupérer, jepeux te l'envoyer par mais privé.

  12. #9
    elaim

    Re : Fonction de répartition du rapport de deux gaussiennes

    Le lien que tu viens de m'envoyer m'intéresse sauf que je n'ai que la première page. si tu peux me l'envoyer par mail privé ça m'arrangerai.
    Merci

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