Unitairement semblable implique orthogonalement semblable

[invitea41c27c1]

Bonjour,
Comment démontre-t-on que si deux matrices réelles sont unitairement semblables alors elles sont orthogonalement semblables?

J'ai essayé de chercher la matrice orthogonale comme combinaison linéaire de la partie réelle et la partie imaginaire de la matrice unitaire, mais comme la caractérisation de l'orthogonalité n'est pas définie que par une seule équation (contrairement à l'inversibilité) il n'est pas garanti qu'il existe une combinaison qui soit orthogonale.

Vous avez des idées?
Merci.
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[invite57a1e779]

Comment démontre-t-on que si deux matrices réelles sont unitairement semblables alors elles sont orthogonalement semblables?

Les mattrices réelles et sont unitairement semblables : il existe une matrice unitaire telle que , donc .
Tu en déduis l'existence d'une matrice réelle inversible , combinaison linéaire des parties réelle et imaginaire de telle que et , puis tu montres, en diagonalisant la matrice symétrique ( est la transposée de ), que et sont orthogonalement semblables...

[inviteccb29071]

Bonjour,

Je suis sur le meme probleme (le monde est petit...), mais je ne vois pas comment conclure...
J'etais arrive a et , mais ensuite je vois pas comment arriver a avec orthogonale.
Certes, est diagonalisable dans une base orthogonale, mais apres...

Merci
Mathieu