[MPSI] Equivalence entre trace nulle et matrice semblable telle que ...

[invite1e5c24bd]

Bonsoir à tous,

Un problème d'un DM de maths traitant des matrices vise à prouver que les assertions suivantes sont équivalentes :

(La trace d'une matrice C de Mn(R) est nulle)
ssi
(Il existe deux matrices X et Y de Mn(R) telles que C=XY-YX)

Le problème est assez largement guidé, on a notamment prouvé que :

- Si C et C' sont semblables et que C=X'Y'-Y'X', il existe X,Y t.q. C=XY-YX
- Les traces de deux matrices semblables sont égales
- Si D est un matrice diagonale et L une application de Mn(R) dans Mn(R), t.q.
L(Y) = DY - YD alors Im(L) = l'ensemble des matrices A de Mn(R) dont tous les aii sont nulles, autrement dit donc la diagonale est nulle
- Si f est un endorphisme d'un R-ev de dimension n et n'est pas une homothétie, il existe u de ce R-ev tel que (u,f(u)) soit un système libre.

La question qui me pose problème est celle-ci :
Montrer que
(Tr(C) = 0) ssi (C est semblable à une matrice C' tel que pour tout i de [1,2,...,n], c'ii=O)

Notre professeur, tout en nous précisant qu'il s'agissait de la question la plus difficile du DM, nous a précisé qu'il faudrait procéder par récurrence ...

Je tente de prouver l'équivalence avec les éléments précédemment démontré mais pour l'instant je n'y arrive pas vraiment ...
Avez-vous une idée sur la question ? Du moins un point de départ ?

Merci d'avance,
Cordialement,
H.Poincaré
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[invitec053041c]

Salut.

Si C est non inversible, c'est faisable par récurrence. Car on peut prendre comme premier vecteur de base e1, un vecteur tel que f(e1)=0.

Ca te donne donc une matrice C avec un 0 en haut à gauche. Tu partages donc ta matrice C en 4 sous matrices (1 case 0 en haut à gauche, une ligne horizontale, une ligne verticale, et une matrice carrée A restante de dimension (n-1)).

tr(A)=0 de manière évidente, donc l'hypothèse de récurrence s'applique sur A (il existe P inversible etc..)

Tu fabriques ensuite une matrice de passage Q par bloc, qui suit le découpage de C, et tu verras de jolies choses apparaître..

Je planche pour C inversible.

EDIT: pas besoin de plancher plus longtemps pour C inversible. Tu considères que C n'est pas une homothétie (sinon l'homothétie nulle, pas intéressante). Donc tu prends comme base (x,f(x),....) complétée par d'autres vecteurs. Tu vois que dans cette base, C a un 0 en position (1,1), donc tu recommences le baratin que j'ai fait juste avant (sans même distinguer C inversible ou non d'ailleurs...)

[invitea07f6506]

Pour C inversible, n égal à 2 au moins : soit u un vecteur tel que u et f(u) soient non colinéaires, où u est l'endomorphisme de R^n associé à C.
On complète (u, f(u)) en une base de R^n.
C est semblable à la matrice C' de u écrite dans cette nouvelle base. Or C' a sa première case nulle. En considérant les (n-1)-ièmes dernières lignes et colonnes, on extrait une matrice M' de trace nulle. Il suffit d'utiliser l'hypothèse de récurrence pour conclure..

[invitec053041c]

Un dessin vaut mieux que 10 explications.

Tu peux te débrouiller pour avoir un 0 en haut à gauche (à cause du (x,f(x)) libre).

P désigne sur mon dessin la matrice de passage qui fait passer A à une matrice avec des 0 diagonaux.
Il suffit de faire le produit par blocs Q^(-1)CQ pour trouver ton bonheur.


(en fait , la matrice que j'appelle C est celle directement avec le 0 en (1,1), qui est semblable à notre matrice initiale, mais bon..semblable de semblable, c'est semblable )

[A voir en vidéo sur Futura]