trace d'une matrice

[invited7555812]

Bonjour, je voudrais savoir quand on peut utiliser la propriété de la trace d'une matrice lors de la recherche des vecteurs propres valeurs propres... est-ce que qeulqu'un peut m'aider ? merci
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[invite0e5af214]

Salut

La trace est égale à la somme des valeurs propres, c'est un bon moyen de vérifier que tu ne t'es pas completement trompé.

Aussi un exemple que j'aime bien :

Pour calculer les valeurs propres, le furieux calcul le determinant de A-I
Le malin remarque que le noyau est de dimension 2, donc deux valeurs propres sont nulles. Vu que la trace est 3, la somme des valeurs propres est également 3.
Les valeurs propres sont donc : 0 0 3

Tu as gagné 5 bonnes minutes

[Bleyblue]

Autre propriété qui peut être utile :

La trace est invariante par changement de base (si A et B sont les matrices d'un opérateur linéaire f dans deux bases différentes alors tr(A) = tr(B) )

[invited7555812]

ah ok et comment on démontre que la trace est la somme des valeurs propres?

[A voir en vidéo sur Futura]

[GuYem]

En trigonalisant et en utilisant ce que vient de dire Bleyblue.

[invited7555812]

oui mais une matrice n'est pas toujours triangulable non?

[GuYem]

Soyons bourrin et disons qu'on se met dans une cloture algébrique de ton corps, alors elle l'est.

Sinon, si ta matrice est réelle, tu la triangularise sur C. (ce qui revient à la même chose...)

[invited7555812]

ça permet donc de trouver la dernière valeur propre en pratique?