On a A^n un A module où A est un anneau commutatif.
On doit montrer que si f : A^n -> A^n est surjectif, alors il est injectif. (morphisme de A-module).
Là on utilise que
A^n/kerf est isomorphe à A^n (car f surjectif), ce qui force kerf={0}, donc f injectif.
Sauf que le prof met 0 en arguant qu'on n'a rien démontré du tout, ce qui n'est pas faux...
Comment démontrer cela ?
Mouais, bizzare, effectivement la demo que tu proposes ne dit pas grand chose, mais ca colle assez a l'exercice, si je puis me permettre... A priori je serais d'accord avec ta demo, pour peu que tu connaisses effectivement par ailleurs le theoreme d'isomorphisme pour les A-modules, sinon c'est un peu circulaire....
A vu de nez, vu qu'A^n est un module libre sur un anneau commutatif, grosso modo il se comprte comme un espace vectoriel, donc tu peux essayer de reperendre la preuve, genre prouver que si f n'est pas injective, alors le rang de Im f est strictement inferieur a n, ce qui contredit la surjectivité de f...
Il est un peu tard pour qu'une piste plus "nette" me saute aux yeux...
Ou je dis peut etre une enormité (fatigue), mais un A-module est en particulier un groupe abelien, donc f est un morphisme de groupe abelien, or le theoreme que tu utilises doit t'etre connu dans le cas des groupes, et comme injectivité et surjectivité sont des propriétés purement "applicative", si tu montres que f est injective en tant que morphisme de groupe abelien, alors elle est injective tout court... c'est tiré par les cheveux, je te l'accorde
