Définition d´un isomorphisme

[christophe_de_Berlin]

Bonjour,

J´ai deux questions de définitions:

1.

Jusqu´à maintenant j´ai toujours cru (et lu) qu´un isomorphisme d´un espace vectoriel E vers un espace vectoriel F est une application lináire bijective.

Or je lis dans mon cours de topo un théorème qui (selon cette définition) n´aurait aucun sens:

Soient E et F deux espaces de Banach, et f, une application linéaire, continue et bijective de E vers F. Alors f-1 est continue, c´est-à-dire que f est un isomorphisme.

Je ne vois pas du tout ce que la coninuité vient faire là-dedans. Donc ya un truc qui m´échappe. La définition de l´isomorphisme change-t-elle quand les espaces vectoriels sont de Banach?

2. Juste une question de vocabulaire:

Qu´appelle-t-on application ouverte?

Merci d´avance

christophe
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[God's Breath]

1.

Jusqu´à maintenant j´ai toujours cru (et lu) qu´un isomorphisme d´un espace vectoriel E vers un espace vectoriel F est une application lináire bijective.

Or je lis dans mon cours de topo un théorème qui (selon cette définition) n´aurait aucun sens:

Soient E et F deux espaces de Banach, et f, une application linéaire, continue et bijective de E vers F. Alors f-1 est continue, c´est-à-dire que f est un isomorphisme.

Je ne vois pas du tout ce que la coninuité vient faire là-dedans. Donc ya un truc qui m´échappe. La définition de l´isomorphisme change-t-elle quand les espaces vectoriels sont de Banach?christophe

Tu es en train de confondre deux structures :
1. la structure d'espace vectoriel, pour laquelle les isomorphismes sont les applications linéaires bijectives.

2. la structure d'espace de Banach, qui est plus fine, puisque l'on rajoute une valeur absolue sur le corps des scalaires et une norme l'espace vectoriel, qui confère alors une structure supplémentaire d'espace métrique complet, pour laquelle les isomorphismes sont les homéomorphismes linéaires : applications linéaires bijectives, continues ainsi que la bijection réciproque.

2. Juste une question de vocabulaire:

Qu´appelle-t-on application ouverte?

Une application d'un espace topologique E dans un espace topologique F telle que, pour tout ouvert U de E, f(U) soit un ouvert de F.

[invite769a1844]

Bonjour,

J´ai deux questions de définitions:

1.

Jusqu´à maintenant j´ai toujours cru (et lu) qu´un isomorphisme d´un espace vectoriel E vers un espace vectoriel F est une application lináire bijective.

Or je lis dans mon cours de topo un théorème qui (selon cette définition) n´aurait aucun sens:

Soient E et F deux espaces de Banach, et f, une application linéaire, continue et bijective de E vers F. Alors f-1 est continue, c´est-à-dire que f est un isomorphisme.

Je ne vois pas du tout ce que la coninuité vient faire là-dedans. Donc ya un truc qui m´échappe. La définition de l´isomorphisme change-t-elle quand les espaces vectoriels sont de Banach?

2. Juste une question de vocabulaire:

Qu´appelle-t-on application ouverte?

Merci d´avance

christophe

Salut


1. Un isomorphisme est un outil d'identification. Les isomorphismes d'espace vectoriels sont un cas particuliers, si deux espaces vectoriels sont isomorphes c'est qu'ils ont les mêmes propriétés d'espace vectoriel.

Les homéomorphismes peuvent être vus comme des isomorphismes: deux ensembles sont homéomorphes si ils ont les mêmes propriétés topologiques.
Les isomorphismes de structures ordonnées entre deux ensembles totalement ordonnés (= bijection strictement croissante) permet de dire que deux ensembles ont la même structure d'ordre (on voit que pour ces morphismes il n'est pas question de liénarité), il y en a encore d'autres avec par exemple les morphismes d'anneaux, de groupes, de corps.

Ici on doit sûrement parler d'isomorphismes de Banach, ie deux Banach ont les mêmes propriétés (au sens des propriétés qu'on étudie sur les espaces vectoriels normés je pense) si ils sont isomorphes .

2. une application ouverte est une application qui envoie un ouvert sur un ouvert me semble-t-il.

[invite769a1844]

j'avais point vu le message de God's Breath

[A voir en vidéo sur Futura]

[christophe_de_Berlin]

Merci,

d´après le sens de ce théorème, je me doutais d´un truc comme ça.

Donc pour les isomorphismes d´espaces de banach, on ajoute aux conditions de linéarité et de bijectivité, la condition de continuité dans les deux sens.

Quant à une fonction ouverte: d´après ce que vous dites tous les deux, il me semble que ça revient à dire que la réciproque, si elle existe, est continue? Donc une fonciton ouverte et bijective est une fonction bijective dont la réciproque est continue?

En tous cas merci de vos explications

christophe

[christophe_de_Berlin]

Quant à une fonction ouverte: d´après ce que vous dites tous les deux, il me semble que ça revient à dire que la réciproque, si elle existe, est continue? Donc une fonciton ouverte et bijective est une fonction bijective dont la réciproque est continue?

bon je peux répondre moi-même à ma question: oui, je viens de trouver cette déf. des applications ouvertes dans Internet. Donc en effet, si f est bijective et ouverte, f^-1 est continue.

merci encore

[invitebe0cd90e]

Donc pour les isomorphismes d´espaces de banach, on ajoute aux conditions de linéarité et de bijectivité, la condition de continuité dans les deux sens.

En fait, la definition de la notion de morphisme et donc d'isomorphisme depasse le cadre des espaces vectoriels. C'est un objet general de l'algebre ! En gros, un espace vectoriel est un ensemble qui a une certaine structure (on peut additionner des trucs, et multiplier par un reel ou un complexe). Un morphisme d'espace vectoriel est une application qui "respecte" cette structure. cad que additionner d'abord, puis passer par l'application doit revenir au meme que d'abord passer par l'application, puis additionner (cad que f(a+b)=f(a)+f(b)). Idem pour la multiplication par un scalaire.

Donc d'une maniere generale, un morphisme est une application qui respecte la structure. Un banach possede une structure plus forte qu'un e.v., donc les morphisme d'espace de Banach doivent respecter cette structure en plus, donc etre continue.

[christophe_de_Berlin]

D´accord, merci c´est une réponse super claire qui m´a ouvert les yeux

[invite800f66fa]

bonjour,
votre conversation m'a bien éclaircie. J'en profite pour vous demander: il suffit de dire que deux espaces vectoriels soient de dimension finie pour affirmer qu'ils sont isomorphes ?

[God's Breath]

Deux espaces vectoriels sur le même corps sont isomorphes si, et seulement si, ils ont même dimension.

[invite800f66fa]

merci pour ta reponse

[Thorin]

il suffit de dire que deux espaces vectoriels soient de dimension finie pour affirmer qu'ils sont isomorphes ?

Déjà, il faut qu'ils soient de même dimension
Ensuite, qu'ils soient sur le même corps ;
ces deux conditions réunies sont alors nécessaires et suffisantes.

Edit : grillé...2fois...

[Cech]

Salut !
Pourrait-on tant qu'à faire donner une formule d'un isomorphisme ? En mélange la formule d'une bijection et d'un homomorphisme je propose :
"Soit deux groupe (G,*) et (H,o).
Soit une application h : G->H
On appelle isomorphisme de groupe : (x,y)∈G | ∀y, ∃!x | h(x*y) = h(x)oh(y)."

Quand dite vous ?

Bonne soirée.

[Médiat]

Bonsoir,

J'en dis que c'est faux .

Essayez de voir ce que cela donne sur un exemple

[PlaneteF]

Bonsoir,

Quand dite vous ?

Qu'à vouloir un "deux-en-un", ... au finish tu obtiens ni l'un ni l'autre

Cordialement