Relation n'ordre totale sur R^n

invite0a547b27 · 03/12/2014, 09h38

Bonjour,

Voilà ou j'en suis je cherche une relation d'ordre totale sur R^n, compatible avec la multiplication (application linéaire) et l'addition (canonique), et en fait pour cela on est obligé de considérer R^(n^2) quotienter par {B/det(B)=1}
Je vous propose la relation que j'ai trouvé :
Soit X=(x_1,x_2,..,x_n) et Y=(y_1,..,y_n) un n-uplet de R^n soit B la matrice qui transforme X en Y.
(dans le cas où det(B)=0 on considère que la partie inversible, celle-ci restera noté det(B))
Si det(B)>1 alors X<Y
Si det(B)<1 alors X>Y
Si det(B)=1 alors X~Y (on identifie X et Y par notre relation d'ordre).

est-elle la bonne ?

ps : il y a quelque oublie facile à compléter quand on considère que cette une analogie avec R ...
Sinon je compléterai tout à l'heure.

invite9dc7b526 · 03/12/2014, 10h27

Envoyé par 1.est.1.si.je.veux

Soit X=(x_1,x_2,..,x_n) et Y=(y_1,..,y_n) un n-uplet de R^n soit B la matrice qui transforme X en Y.

a priori il y a plusieurs matrices qui transforment un vecteur en un autre vecteur.

**Médiat** · 03/12/2014, 10h36

Bonjour,

Envoyé par 1.est.1.si.je.veux

Si det(B)>1 alors X<Y
Si det(B)<1 alors X>Y
Si det(B)=1 alors X~Y (on identifie X et Y par notre relation d'ordre).

Indépendamment de toute autre considération, en faisant ainsi, vous ne définissez pas un ordre sur $\text{[math]}$ (au mieux dans un quotient de $\text{[math]}$ quotienté par une relation d'équivalence).

Pourquoi ne pas rechercher un "préordre" total ?
Défini, alors par
Si det(B)>=1 alors X<Y
Si det(B)<=1 alors X>Y

PS : voulez-vous dire compatible avec la multiplication externe ?

invite0a547b27 · 03/12/2014, 18h46

Bonjour,

Merci, pour vos réponses.

En fait ce n'est pas directement ce problème qui m'intéresse et je me suis rendu compte que si cette voie aboutie alors la méthode de Newton appliqué à mon problème marche.

Le problème est soit une fonction de R^n dans R^n :
f : x->(f_1(x),...,f_n(x))
avec f_i une fonction polynôme de la forme : (s_1*x_1*x_2*x_3+s_2*....)/N tel que s_i dans {-1,1}, les termes en x_i sont inexistant ou unique et avec exactement N monôme, degree(f_i)<=3.
On cherche à résoudre f(x)=0 sur [0,1]^n.

Il semblerait que dans ces conditions la méthode de Newton converge. (La norme infini norm(x_1,..x_n)=max(|x_1|,...) est, me semble-t-il, la plus commode pour le voir)

Êtes vous d'accord ?

PS : je voulais dire compatible avec la multiplication matricielle (car en fait cela revient à travailler sur les matrices).

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite0a547b27 · 03/12/2014, 19h32

Pour revenir au sujet du fil.

Voilà de manière plus "propre" ce que je cherchais :
On se place sur les matrices n*n de R.
Existe-t-il une relation d'ordre totale compatible avec l'addition et la multiplication matricielle ?

**Médiat** · 03/12/2014, 19h56

Pus simple de répondre avec la bonne question !

Le fait qu'il existe des matrices A telles que A² = -Id l'interdit, non ?

invite0a547b27 · 04/12/2014, 07h26

Envoyé par Médiat

Pus simple de répondre avec la bonne question !

Le fait qu'il existe des matrices A telles que A² = -Id l'interdit, non ?

Ok, merci.
PS : Souvent trouver la bonne question résous le problème.

Les réels standard (non archimèdien) sont-ils totalement ordonnées et avec compatibilité des opérations ?

invite0a547b27 · 04/12/2014, 07h43

Pour revenir sur R^n.

Soit A une matrice n*n, n-nilpotente. A^n=0
Alors Vect(Id,...,A^(n-1)) peut-être muni d'un ordre totale compatible avec les opérations, non ?

**Médiat** · 04/12/2014, 07h45

Envoyé par 1.est.1.si.je.veux

Les réels standard (non archimèdien) sont-ils totalement ordonnées et avec compatibilité des opérations ?

Qu'appelez-vous "réel standard non-archimédiens" (à ma connaissance les réels standard sont archimédiens).

invite0a547b27 · 04/12/2014, 07h51

Envoyé par Médiat

Qu'appelez-vous "réel standard non-archimédiens" (à ma connaissance les réels standard sont archimédiens).

Effectivement, je pensais plus à un truc comme l'exemple que j'ai donné.
Donnes t-il un ordre compatible, d'après vous ?

Envoyé par 1.est.1.si.je.veux

Pour revenir sur R^n.

Soit A une matrice n*n, n-nilpotente. A^n=0
Alors Vect(Id,...,A^(n-1)) peut-être muni d'un ordre totale compatible avec les opérations, non ?

L'ordre lexicaux graphiques serait un bon candidat, est-il le bon ?

invite0a547b27 · 04/12/2014, 08h18

Envoyé par 1.est.1.si.je.veux

Effectivement, je pensais plus à un truc comme l'exemple que j'ai donné.
Donnes t-il un ordre compatible, d'après vous ?

L'ordre lexicaux graphiques serait un bon candidat, est-il le bon ?

Il faudrait un ordre où les applications linéaires seraient monotones (c'est cela que j'appelait compatible avec la multiplication)

PS: plus je communique sur mes idées et plus elle se clarifie (je n'avais pas ce degré de clarté en ouvrant ce fil).

invite0a547b27 · 04/12/2014, 08h24

Envoyé par Médiat

Pus simple de répondre avec la bonne question !

Le fait qu'il existe des matrices A telles que A² = -Id l'interdit, non ?

Par exemple c'est réponse m'a fait penser à la nilpotence...

invite9dc7b526 · 04/12/2014, 11h25

Envoyé par 1.est.1.si.je.veux

PS: plus je communique sur mes idées et plus elle se clarifie (je n'avais pas ce degré de clarté en ouvrant ce fil).

le lecteur suit le chemin inverse.

invite0a547b27 · 04/12/2014, 19h55

Envoyé par 1.est.1.si.je.veux

Il faudrait un ordre où les applications linéaires seraient monotones (c'est cela que j'appelait compatible avec la multiplication)

En fait c'est impossible on le voit par l'absurde en considérant 2 vecteurs indépendants.

Cela marche pour R parce que les fonctions linéaires sur R forme un espace de dim 1, car si n=1 alors n^2=n.

Soit f : R^n -> R^n de classe C^1.

A-t-on alors dim(Vect{Df(a)| a dans R^n})<= n ?

invite9dc7b526 · 04/12/2014, 20h01

annulé (j'avais pas compris la question)

invite0a547b27 · 04/12/2014, 20h03

Df(a) est une matrice n*n.
Df(a) différentielle de f en a.

invite0a547b27 · 11/12/2014, 17h57

La question est résolu, on peut munir R^n d'un ordre totale compatible avec l'anneau R[X]/X^n : l'ordre lexicaux graphique.

Merci.

invite0a547b27 · 12/12/2014, 15h05

Pour info, c'est ordre n'a d’intérêt que pour des réseaux discrets, non denses.

**Médiat** · 12/12/2014, 15h12

Envoyé par 1.est.1.si.je.veux

La question est résolu, on peut munir R^n d'un ordre totale compatible avec l'anneau R[X]/X^n : l'ordre lexicaux graphique.

Par ordre lexicographique sur $\text{[math]}$ , vous voulez dire que l'on compare les termes de plus haut degré avec les règles suivantes :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

invite0a547b27 · 12/12/2014, 15h28

Envoyé par Médiat

Par ordre lexicographique sur $\text{[math]}$ , vous voulez dire que l'on compare les termes de plus haut degré avec les règles suivantes :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

plus tôt :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

**Médiat** · 12/12/2014, 15h35

Donc vous avez, par exemple dans $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$ en multpliant par $\text{[math]}$ on obtient $\text{[math]}$

invite0a547b27 · 12/12/2014, 15h46

Envoyé par Médiat

Donc vous avez, par exemple dans $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$ en multpliant par $\text{[math]}$ on obtient $\text{[math]}$

non plus tôt :

$\text{[math]}$ en multpliant par $\text{[math]}$ on obtient $\text{[math]}$

En effet

Envoyé par 1.est.1.si.je.veux

plus tôt :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

invite0a547b27 · 12/12/2014, 16h03

A noter que > n'est pas adapté mais >= oui.

**Médiat** · 12/12/2014, 16h03

Si vous voulez :
$\text{[math]}$ en multipliant pas $\text{[math]}$ vous obtenez $\text{[math]}$

invite0a547b27 · 12/12/2014, 16h05

Envoyé par Médiat

Si vous voulez :
$\text{[math]}$ en multipliant pas $\text{[math]}$ vous obtenez $\text{[math]}$

non,

j'obtiens plus tôt 0<=0<=0 (x^3=0)

**Médiat** · 12/12/2014, 18h25

J'ai un peu écrit n'importe quoi, néanmoins on obtiendrait 0 < 0 (sans chercher plus loin, car avec la règle qui consiste à prendre le terme de plus haut degré, il est facile de trouver des incompatibilités encore plus flagrantes)

invite0a547b27 · 12/12/2014, 18h44

Envoyé par Médiat

J'ai un peu écrit n'importe quoi, néanmoins on obtiendrait 0 < 0 (sans chercher plus loin, car avec la règle qui consiste à prendre le terme de plus haut degré, il est facile de trouver des incompatibilités encore plus flagrantes)

Je rappelle qu'une relation d'ordre totale est réflexive et donc ce n'est pas une inégalité stricte mais large qu'il faut considérer.

Envoyé par 1.est.1.si.je.veux

A noter que > n'est pas adapté mais >= oui.

invite0a547b27 · 12/12/2014, 19h00

Avec un tel raisonnement, on arrive à dire sur les réels :

1<2 on multiplie par 0 alors 0<0 ! ! !

**Médiat** · 12/12/2014, 20h11

Non, avec ce raisonnement si vous multipliez par x > 0 vous obtenez x < 2x

invite0a547b27 · 12/12/2014, 20h13

Cela n'empêche que votre contre-exemple n'en ait pas un.

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