Relation n'ordre totale sur R^n

[1.est.1.si.je.veux]

Bonjour,

Voilà ou j'en suis je cherche une relation d'ordre totale sur R^n, compatible avec la multiplication (application linéaire) et l'addition (canonique), et en fait pour cela on est obligé de considérer R^(n^2) quotienter par {B/det(B)=1}
Je vous propose la relation que j'ai trouvé :
Soit X=(x_1,x_2,..,x_n) et Y=(y_1,..,y_n) un n-uplet de R^n soit B la matrice qui transforme X en Y.
(dans le cas où det(B)=0 on considère que la partie inversible, celle-ci restera noté det(B))
Si det(B)>1 alors X<Y
Si det(B)<1 alors X>Y
Si det(B)=1 alors X~Y (on identifie X et Y par notre relation d'ordre).


est-elle la bonne ?

ps : il y a quelque oublie facile à compléter quand on considère que cette une analogie avec R ...
Sinon je compléterai tout à l'heure.
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[minushabens]

Soit X=(x_1,x_2,..,x_n) et Y=(y_1,..,y_n) un n-uplet de R^n soit B la matrice qui transforme X en Y.

a priori il y a plusieurs matrices qui transforment un vecteur en un autre vecteur.

[Médiat]

Bonjour,

Si det(B)>1 alors X<Y
Si det(B)<1 alors X>Y
Si det(B)=1 alors X~Y (on identifie X et Y par notre relation d'ordre).

Indépendamment de toute autre considération, en faisant ainsi, vous ne définissez pas un ordre sur (au mieux dans un quotient de quotienté par une relation d'équivalence).

Pourquoi ne pas rechercher un "préordre" total ?
Défini, alors par
Si det(B)>=1 alors X<Y
Si det(B)<=1 alors X>Y

PS : voulez-vous dire compatible avec la multiplication externe ?

[1.est.1.si.je.veux]

Bonjour,

Merci, pour vos réponses.

En fait ce n'est pas directement ce problème qui m'intéresse et je me suis rendu compte que si cette voie aboutie alors la méthode de Newton appliqué à mon problème marche.


Le problème est soit une fonction de R^n dans R^n :
f : x->(f_1(x),...,f_n(x))
avec f_i une fonction polynôme de la forme : (s_1*x_1*x_2*x_3+s_2*....)/N tel que s_i dans {-1,1}, les termes en x_i sont inexistant ou unique et avec exactement N monôme, degree(f_i)<=3.
On cherche à résoudre f(x)=0 sur [0,1]^n.

Il semblerait que dans ces conditions la méthode de Newton converge. (La norme infini norm(x_1,..x_n)=max(|x_1|,...) est, me semble-t-il, la plus commode pour le voir)

Êtes vous d'accord ?

PS : je voulais dire compatible avec la multiplication matricielle (car en fait cela revient à travailler sur les matrices).

[A voir en vidéo sur Futura]

[1.est.1.si.je.veux]

Pour revenir au sujet du fil.

Voilà de manière plus "propre" ce que je cherchais :
On se place sur les matrices n*n de R.
Existe-t-il une relation d'ordre totale compatible avec l'addition et la multiplication matricielle ?

[Médiat]

Pus simple de répondre avec la bonne question !

Le fait qu'il existe des matrices A telles que A² = -Id l'interdit, non ?

[1.est.1.si.je.veux]

Pus simple de répondre avec la bonne question !

Le fait qu'il existe des matrices A telles que A² = -Id l'interdit, non ?

Ok, merci.
PS : Souvent trouver la bonne question résous le problème.

Les réels standard (non archimèdien) sont-ils totalement ordonnées et avec compatibilité des opérations ?

[1.est.1.si.je.veux]

Pour revenir sur R^n.

Soit A une matrice n*n, n-nilpotente. A^n=0
Alors Vect(Id,...,A^(n-1)) peut-être muni d'un ordre totale compatible avec les opérations, non ?

[Médiat]

Les réels standard (non archimèdien) sont-ils totalement ordonnées et avec compatibilité des opérations ?

Qu'appelez-vous "réel standard non-archimédiens" (à ma connaissance les réels standard sont archimédiens).

[1.est.1.si.je.veux]

Qu'appelez-vous "réel standard non-archimédiens" (à ma connaissance les réels standard sont archimédiens).

Effectivement, je pensais plus à un truc comme l'exemple que j'ai donné.
Donnes t-il un ordre compatible, d'après vous ?

Pour revenir sur R^n.

Soit A une matrice n*n, n-nilpotente. A^n=0
Alors Vect(Id,...,A^(n-1)) peut-être muni d'un ordre totale compatible avec les opérations, non ?

L'ordre lexicaux graphiques serait un bon candidat, est-il le bon ?

[1.est.1.si.je.veux]

Effectivement, je pensais plus à un truc comme l'exemple que j'ai donné.
Donnes t-il un ordre compatible, d'après vous ?


L'ordre lexicaux graphiques serait un bon candidat, est-il le bon ?

Il faudrait un ordre où les applications linéaires seraient monotones (c'est cela que j'appelait compatible avec la multiplication)

PS: plus je communique sur mes idées et plus elle se clarifie (je n'avais pas ce degré de clarté en ouvrant ce fil).

[1.est.1.si.je.veux]

Pus simple de répondre avec la bonne question !

Le fait qu'il existe des matrices A telles que A² = -Id l'interdit, non ?

Par exemple c'est réponse m'a fait penser à la nilpotence...

[minushabens]

PS: plus je communique sur mes idées et plus elle se clarifie (je n'avais pas ce degré de clarté en ouvrant ce fil).

le lecteur suit le chemin inverse.

[1.est.1.si.je.veux]

Il faudrait un ordre où les applications linéaires seraient monotones (c'est cela que j'appelait compatible avec la multiplication)

En fait c'est impossible on le voit par l'absurde en considérant 2 vecteurs indépendants.

Cela marche pour R parce que les fonctions linéaires sur R forme un espace de dim 1, car si n=1 alors n^2=n.

Soit f : R^n -> R^n de classe C^1.

A-t-on alors dim(Vect{Df(a)| a dans R^n})<= n ?

[minushabens]

annulé (j'avais pas compris la question)

[1.est.1.si.je.veux]

Df(a) est une matrice n*n.
Df(a) différentielle de f en a.

[1.est.1.si.je.veux]

La question est résolu, on peut munir R^n d'un ordre totale compatible avec l'anneau R[X]/X^n : l'ordre lexicaux graphique.

Merci.

[1.est.1.si.je.veux]

Pour info, c'est ordre n'a d’intérêt que pour des réseaux discrets, non denses.

[Médiat]

La question est résolu, on peut munir R^n d'un ordre totale compatible avec l'anneau R[X]/X^n : l'ordre lexicaux graphique.

Par ordre lexicographique sur , vous voulez dire que l'on compare les termes de plus haut degré avec les règles suivantes :

[1.est.1.si.je.veux]

Par ordre lexicographique sur , vous voulez dire que l'on compare les termes de plus haut degré avec les règles suivantes :

plus tôt :

[Médiat]

Donc vous avez, par exemple dans :

en multpliant par on obtient

[1.est.1.si.je.veux]

Donc vous avez, par exemple dans :

en multpliant par on obtient

non plus tôt :

en multpliant par on obtient

En effet

plus tôt :

[1.est.1.si.je.veux]

A noter que > n'est pas adapté mais >= oui.

[Médiat]

Si vous voulez :
en multipliant pas vous obtenez

[1.est.1.si.je.veux]

Si vous voulez :
en multipliant pas vous obtenez

non,

j'obtiens plus tôt 0<=0<=0 (x^3=0)

[Médiat]

J'ai un peu écrit n'importe quoi, néanmoins on obtiendrait 0 < 0 (sans chercher plus loin, car avec la règle qui consiste à prendre le terme de plus haut degré, il est facile de trouver des incompatibilités encore plus flagrantes)

[1.est.1.si.je.veux]

J'ai un peu écrit n'importe quoi, néanmoins on obtiendrait 0 < 0 (sans chercher plus loin, car avec la règle qui consiste à prendre le terme de plus haut degré, il est facile de trouver des incompatibilités encore plus flagrantes)

Je rappelle qu'une relation d'ordre totale est réflexive et donc ce n'est pas une inégalité stricte mais large qu'il faut considérer.

A noter que > n'est pas adapté mais >= oui.

[1.est.1.si.je.veux]

Avec un tel raisonnement, on arrive à dire sur les réels :

1<2 on multiplie par 0 alors 0<0 ! ! !

[Médiat]

Non, avec ce raisonnement si vous multipliez par x > 0 vous obtenez x < 2x

[1.est.1.si.je.veux]

Cela n'empêche que votre contre-exemple n'en ait pas un.