relation d'ordre totale

[invite3fd145a7]

Bonjour ! J'aimerai avoir une petite explication : lorsque l'on dit qu'un ensemble est muni d'une relation d'ordre totale compatible avec l'addition, qu'est-ce que cela signifie concrètement ?
Merci d'avance pour votre aide !
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[invite4793db90]

Salut,

celà signifie que si a<b, alors a+c<b+c.

Cordialement.

[invite3fd145a7]

Et donc pour la réflexivité on obtient a+c < b+c et comme la loi + satisfait aussi l'antisymétrie et la transitivité on peut dire que c'est une relation d'ordre pour l'ensemble étudié. C'est bien ça ?

[invite14e03d2a]

Salut!

Et donc pour la réflexivité on obtient a+c < b+c et comme la loi + satisfait aussi l'antisymétrie et la transitivité on peut dire que c'est une relation d'ordre pour l'ensemble étudié. C'est bien ça ?

Absolument pas! Ne confond pas loi et relation! Une loi peut être commutative, associative, transitive (par rapport à une autre loi) mais pas réflexive, symétrique, antisymétrique, ou transitive. Ces dernières sont des propriétés des relations (binaires).

En fait, tu as un ensemble muni de deux structures: une loi et une relation d'ordre. En général, on vérifie les propriétés de la loi indépendamment de celles de la relation.
A priori, il n'y a pas de lien entre les deux structures. Mais souvent, on rajoute une hypothèse, la compatibilité de l'ordre avec la loi, dont la définition a été rappelée par Martini_Bird.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]