groupe semi-simple

[invite05a190a3]

Bonsoir à tous ,

je voudrai solliciter de l'aide pour la définition d'un groupe semi-simple.

merci.
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[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Un groupe est semi-simple s'il n'a pas de sous-groupe distingué abélien non trivial. Il est simple s'il n'a pas de sous-groupe distingué non trivial. Un groupe semi-simple est produit direct de groupes simples.

-- françois

[invite05a190a3]

merci françois .

donc y'a pas de connexité dans la définition ?

et est ce que tous groupe qui est un produit direct de groupes simples est un groupe semi-simple? ( je voudrai une caractérisation ) .

[invite6de5f0ac]

donc y'a pas de connexité dans la définition ?

et est ce que tous groupe qui est un produit direct de groupes simples est un groupe semi-simple? ( je voudrai une caractérisation ) .

Bonjour,

La connexité est une notion topologique, pas algébrique. Donc rien à voir. Encore que... L'idée est bien qu'un groupe simple est "d'un seul tenant", et un groupe semi-simple n'est que la juxtaposition de groupes semi-simples. Il m'arrive souvent (mais en privé pour que ça ne s'entende pas) de dire "connexe" pour "simple" et de parler de "composantes connexes" pour les facteurs directs d'un groupe semi-simple. Donc ton idée n'est pas fausse, elle montre au moins une bonne intuition du concept.

Et oui, un produit direct de groupes simples est semi-simple. Si G est un groupe simple, il n'a pas de sous-groupes distingués autres que {1} et G ; alors G/{1} = G et G/G = {1} (les "=" sont évidemment des isomorphismes naturels). Sinon il a un sous-groupe distingué H, et on a alors G = (G/H) x H. Si à leur tour G/H et/ou H ne sont pas simples on peut continuer. Le point important est qu'on arrive à un produit direct de facteurs qui sont des groupes simples, et que cette factorisation est essentiellement unique.

Mais il y a des groupes qui ne sont pas semi-simples (et donc encore moins simples). Une jolie manière de faire est le produit semi-direct qui embrouille bien les choses (en anglais "wreath product", littéralement "produit tordu").

-- françois

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe0cd90e]

J'ai l'impression que tu montres qu'un produit direct de groupe simple peut se decomposer en... produit direct de groupes simples

Il me semble qu'un produit direct de groupes simples n'est pas forcement semi simple : en effet, il existe des groupes simples abeliens (les Z/pZ pour p premier). Si p et q sont 2 nombres premiers, il me semble que Z/pZxZ/qZ n'est pas semi simple, puisque il admet 2 sous groupes propres distingués abeliens, non ?

[invite05a190a3]

je vous remercie pour vos réponses.

au fait , je travaille sur les groupes de Lie , d'où mon idée de la connexité.

[invitebe0cd90e]

Tu aurais du le dire Dans ce cas la definition est legerement differente. La definition habituelle de groupe simple "fait sens" pour un groupe de Lie mais elle n'est pas tres interressante.

Dans le cas d'un groupe de Lie, on dit qu'il est simple s'il ne contient pas de sous groupe normal connexe. En particulier il peut contenir des sous groupes normaux discrets, par exemple.

L'interet est qu'un groupe de Lie simple a une algèbre de Lie qui est également simple (sur C), et que les algèbres de Lie simple ont des propriétés sympa. Il existe notamment une classification detaillée des algebres de Lie simple en utilisant les digrammes de Dynkin.