interprétation de la formule de tayor

[invite0f6f1e2d]

salut,
j'ai appris récemment que la formule de taylor possède deux interprétations algébriques , une arithmétique et une analytique.
on ne nie pas l'interprétation géométrique de la formule qui est facile à voir comparent aux autres.
en fait , l'application de la formule pour un polynome P au voisinage de A pour le 1 er ordre donne l'équation de la tangente au point A; pour l'ordre 2 ; j'en suis pas sûr ; mais je pense que c'est la convexité du polynome au point A ; pour le 3 ème ordre ; la vitesse de la convexité ; pour le 4 ème ; l'accélération de la convexité ....

des idées sur ces interpretations ?

merci
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[invite0f6f1e2d]

salut les scientifiqus ;
je souhaite que ce n'est pas bizarre cette interprétation de la formule de taylor.

[invitea3eb043e]

Le challenge, c'est de voir concrètement ce que sont ces variables.
Les physiciens ont une interprétation pour les dérivées successives de la position.
x est la position
dx/dt = v est la vitesse
d²x/dt² = a est l'accélération
la dérivée troisième, appelée jerk est la variation de l'accélération,
au-delà on n'utilise plus.
Personnellement, je ne connais qu'une application du jerk, c'est la force de freinage d'une particule chargée en mouvement.

[invite0fb72cf8]

Personnellement, je ne connais qu'une application du jerk, c'est la force de freinage d'une particule chargée en mouvement.

En politique, une dérivée troisième peut convaincre les électeurs à voter pour toi:

"In the fall of 1972 President Nixon announced that the rate of increase of inflation was decreasing. This was the first time a sitting president used the third derivative to advance his case for reelection."

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea250c65c]

Voici comment je me représente la formule "cinématiquement parlant" (attention, ce qui va suivre peut heurter la sensibilité des matheux puristes : ce n'est qu'une façon assez intuitive de se représenter les choses, pardonnez le manque de rigueur) :

Le DL g de f en a à l'ordre n est tel que .
Donc si tu te places dans le plan (Oxy), c'est comme si tu avais un point A (au départ A(a,f(a)) qui décrit la courbe de f. Tu places un point B à la même position initiale que celle de a (f(a)=g(a)), tu lui communiques la même vitesse que la vitesse initiale du point A (f'(a)=g'(a)), la même accélération initiale (f''(a)=g''(a)), ..., et ainsi de suite jusqu'à la dérivée n-ième.
Donc, au voisinage de la position initiale, ton point B va avoir tendence à décrire la même courbe que ton point A. Plus n est grand, plus la courbe décrite par B va "coller" celle décrite par A.

Par contre je ne vois pas comment me représenter la majoration de l'erreur de cette façon.
Je ne sais pas si c'est le genre de trucs qu'on t'a déjà expliqué (pas encore fait le cours sur les DL, juste lu une remarque dans un livre qui m'a fait penser à ça), mais je trouve que ça permet bien de voir l'idée qu'il y a derrière.

Si vous avez d'autres interprétations, je suis aussi interessé.

A+

[invitea3eb043e]

C'est plus léger à écrire quand a=0 mais la formule de Taylor dit bien que l'erreur = l'écart entre les 2 fonctions est de l'ordre de la puissance nième de x que multiplie la dérivée nième non nulle. (Il y a une factorielle n aussi). Pas de problème mais quant à se représenter une application concrète !...
Le coup de Nixon m'a paru assez bluffant mais effectivement les politiques n'ont pas de pudeur à parler de choses où ils ne comprennent rien.