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probleme exercices sur les morphismes de groupes



  1. #1
    invite77420056

    probleme exercices sur les morphismes de groupes


    ------

    bonjour a tous voila l'enoncé de l'exercice :" soit G et G' deux groupes notés multiplicativement et f un morphisme de G dans G'.montrer que l'image par f d'un sous groupe de G est un sous groupe de G ' et que l'image reciproque d'un sous groupe de G' est un sous groupe de G.retrouver les cas particuliers de l'image et du noyau de f." alors voila le probleme est que je ne sais pas par quoi commencer pour resoudre cet exercice .j'aimerais avoir quelques pistes pour pouvoir effectuer cet exercice.merci d'avances pour vos reponses.

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  3. #2
    Electrofred

    Re : probleme exercices sur les morphismes de groupes

    Salut !

    Je te le fais pour l'image directe, avec des spoiler entre les étapes si tu veux chercher :

    Soit (H,.) un sous groupe de (G,.). Montrons que (f(H),.) est un sous groupe de (G',.).

    -On montre que "." est une lci dans f(H).
     Cliquez pour afficher

    -On montre qu'il existe un élement neutre pour "." dans f(H).
     Cliquez pour afficher

    -On montre que tout élément de f(H) admet un symétrique par ".".
     Cliquez pour afficher


    Donc (f(H),.) est un sous groupe de (G',.).

    Démonstration analogue pour l'image réciproque. Et tu conclues pour l'image et le noyaux (qui sont des cas particluliers de ce que tu viens de montrer).

  4. #3
    invite77420056

    Re : probleme exercices sur les morphismes de groupes

    en fait ce que je ne comprends pas dans l'enoncé de l'exercice c'est ce que signifie image directe et image reciproque.je ne me rappelle pas avoir vu ca dans le cours .

  5. #4
    Thorin

    Re : probleme exercices sur les morphismes de groupes

    Soit f une application de A dans B, soit S une partie de A, et S' une partie de B.

    l'image directe de S est
    l'image réciproque de S' est
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    invite77420056

    Re : probleme exercices sur les morphismes de groupes

    en fait je ne vois pas trops le rapports avec les groupes si quelqu'un pouvait m'expliker ca m'aiderais à comprendre

  8. #6
    invite77420056

    Re : probleme exercices sur les morphismes de groupes

    je ne comprends pas pourquoi pour la demonstration de l'image directe on doit montrer que f(H) est un sous groupe de (G', .).aidez moi svp parce que là je suis totalement paumé

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  10. #7
    fderwelt

    Re : probleme exercices sur les morphismes de groupes

    Citation Envoyé par jonh35 Voir le message
    en fait je ne vois pas trops le rapports avec les groupes si quelqu'un pouvait m'expliker ca m'aiderais à comprendre
    Bonjour,

    Il n'y a pas de rapport. Les notions d'image directe et d'image réciproque sont définies pour n'importe quelle application (ou même fonction) de n'importe quel ensemble vers n'importe quel ensemble.

    Bien sûr, si ces ensembles sont munis d'une structure de groupe et que f est un morphisme, il se passe des choses plus intéressantes.

    Maintenant, pour quoi dans ton cas il faut monter que f(H) est un sous-groupe de G' ? Bin parce que c'est ce qu'on te demande dans l'énoncé ! Ce n'est pas évident a priori, même si ça ne présente pas de difficulté.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  11. #8
    invite77420056

    Re : probleme exercices sur les morphismes de groupes

    mais ca change quoi quand on veux faire avec l'image reciproque?

  12. #9
    invite77420056

    Re : probleme exercices sur les morphismes de groupes

    dans l'enoncé ils demandent aussi de demontrer que l'image reciproque d'un sous groupe de G' est un sous groupe de G.mais je ne vois pas , en terme de relations mathematiques ce que signifie "l'image reciproque d'un sous groupe de G' "

  13. #10
    invite986312212
    Invité

    Re : probleme exercices sur les morphismes de groupes

    Citation Envoyé par jonh35 Voir le message
    que signifie "l'image reciproque d'un sous groupe de G' "
    c'est l'ensemble des antécédents des éléments de G' par le morphisme en question.

    allez, je t'aide pour la première étape: cet ensemble n'est pas vide car G' contient au moins l'élément neutre 1 et f(1)=1 (si f est le morphisme)

  14. #11
    invite77420056

    Re : probleme exercices sur les morphismes de groupes

    l'image directe est en fait le noyau dans cet exercice là , non ?

  15. #12
    invite77420056

    Re : probleme exercices sur les morphismes de groupes

    dsl en fait c'etait le contraire que je voulais dire

  16. Publicité
  17. #13
    invite77420056

    Re : probleme exercices sur les morphismes de groupes

    est ce que l'on peux ecrire l 'image directe de façon differente de cette de thorin cad f(S')={f(x)=e'; x appartient à A}?

  18. #14
    invite77420056

    Re : probleme exercices sur les morphismes de groupes

    en fait ce n'est pas f(S') mais f(S) je me suis tromper en ecrivant dsl

  19. #15
    invite77420056

    Re : probleme exercices sur les morphismes de groupes

    bonjour à tous .quelqu'un pourrait il me dire comment faire avec l'image reciproque pour apres conclure que on retrouve bien le resultat du cours cad ker f=f^-1({e'}).merci d'avances pour vos reponses

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