probleme exercices sur les morphismes de groupes

[invite69d45bb4]

bonjour a tous voila l'enoncé de l'exercice :" soit G et G' deux groupes notés multiplicativement et f un morphisme de G dans G'.montrer que l'image par f d'un sous groupe de G est un sous groupe de G ' et que l'image reciproque d'un sous groupe de G' est un sous groupe de G.retrouver les cas particuliers de l'image et du noyau de f." alors voila le probleme est que je ne sais pas par quoi commencer pour resoudre cet exercice .j'aimerais avoir quelques pistes pour pouvoir effectuer cet exercice.merci d'avances pour vos reponses.
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[invitea250c65c]

Salut !

Je te le fais pour l'image directe, avec des spoiler entre les étapes si tu veux chercher :

Soit (H,.) un sous groupe de (G,.). Montrons que (f(H),.) est un sous groupe de (G',.).

-On montre que "." est une lci dans f(H).

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En effet, et donc, f étant un morphisme de groupes, (car ).

-On montre qu'il existe un élement neutre pour "." dans f(H).

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(H,.) étant un sous groupe de (G,.), l'élément neutre e de (G,.) appartient à H. On garde les notations du dernier spoiler, mais et de même pour f(e.x). Donc est élément neutre de f(H) pour ".".

-On montre que tout élément de f(H) admet un symétrique par ".".

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De même que dans le spoiler précédent, on montre que ...

Donc (f(H),.) est un sous groupe de (G',.).

Démonstration analogue pour l'image réciproque. Et tu conclues pour l'image et le noyaux (qui sont des cas particluliers de ce que tu viens de montrer).

[invite69d45bb4]

en fait ce que je ne comprends pas dans l'enoncé de l'exercice c'est ce que signifie image directe et image reciproque.je ne me rappelle pas avoir vu ca dans le cours .

[invitec317278e]

Soit f une application de A dans B, soit S une partie de A, et S' une partie de B.

l'image directe de S est
l'image réciproque de S' est

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d45bb4]

en fait je ne vois pas trops le rapports avec les groupes si quelqu'un pouvait m'expliker ca m'aiderais à comprendre

[invite69d45bb4]

je ne comprends pas pourquoi pour la demonstration de l'image directe on doit montrer que f(H) est un sous groupe de (G', .).aidez moi svp parce que là je suis totalement paumé

[invite6de5f0ac]

en fait je ne vois pas trops le rapports avec les groupes si quelqu'un pouvait m'expliker ca m'aiderais à comprendre

Bonjour,

Il n'y a pas de rapport. Les notions d'image directe et d'image réciproque sont définies pour n'importe quelle application (ou même fonction) de n'importe quel ensemble vers n'importe quel ensemble.

Bien sûr, si ces ensembles sont munis d'une structure de groupe et que f est un morphisme, il se passe des choses plus intéressantes.

Maintenant, pour quoi dans ton cas il faut monter que f(H) est un sous-groupe de G' ? Bin parce que c'est ce qu'on te demande dans l'énoncé ! Ce n'est pas évident a priori, même si ça ne présente pas de difficulté.

-- françois

[invite69d45bb4]

mais ca change quoi quand on veux faire avec l'image reciproque?

[invite69d45bb4]

dans l'enoncé ils demandent aussi de demontrer que l'image reciproque d'un sous groupe de G' est un sous groupe de G.mais je ne vois pas , en terme de relations mathematiques ce que signifie "l'image reciproque d'un sous groupe de G' "

[invite986312212]

que signifie "l'image reciproque d'un sous groupe de G' "

c'est l'ensemble des antécédents des éléments de G' par le morphisme en question.

allez, je t'aide pour la première étape: cet ensemble n'est pas vide car G' contient au moins l'élément neutre 1 et f(1)=1 (si f est le morphisme)

[invite69d45bb4]

l'image directe est en fait le noyau dans cet exercice là , non ?

[invite69d45bb4]

dsl en fait c'etait le contraire que je voulais dire

[invite69d45bb4]

est ce que l'on peux ecrire l 'image directe de façon differente de cette de thorin cad f(S')={f(x)=e'; x appartient à A}?

[invite69d45bb4]

en fait ce n'est pas f(S') mais f(S) je me suis tromper en ecrivant dsl

[invite69d45bb4]

bonjour à tous .quelqu'un pourrait il me dire comment faire avec l'image reciproque pour apres conclure que on retrouve bien le resultat du cours cad ker f=f^-1({e'}).merci d'avances pour vos reponses