Intégrale x²/(1+x^4)

[invite6f47c162]

Je cherche à calculer l'intégrale sur R de x²/(1+x^4)

Pour celà j'ai décomposé la fraction sur C, ça donne : 0.5/(x²-i) + 0.5/(x²+i)

J'intègre ensuite ça pour obtenir des fonctions Arctan et Argth mais j'ai du mal à me débarrasser des "i". Je suis parti du principe qu'une intégrale complexe fonctionne à peu près comme une intégrale "normale" ; mais appartement non (on n'a pas encore vu ça en cours...)
Alors comment ça marche ? parce que le résultat est bien réel lui! (ça fait 1/2.Pi.racine(2))

Merçi!
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[inviteaf1870ed]

Une astuce : 1+x^4 s'écrit (1+x²)²-2x²
Cela devrait t'aider pour ta décomposition en éléments simples

[invite6f47c162]

Aah tout s'éclaire, ça va tout seul maintenant! Merçi bien

Mais quand même, comment aurait-il fallu faire pour intégrer 1/(x²-i) par exemple ?

[invite551c2897]

Bonsoir.
Comme une intégrale normale :
int(1/(a^2-x^2)) = 1/a*argth(x/a) si |x| < a

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7c37b5cb]

Bonsoir.

si x²=tgz; ∫[x²/(1+x^4)]dx=1/2*∫√tgz*dz

[invite6f47c162]

Bonsoir.
Comme une intégrale normale :
int(1/(a^2-x^2)) = 1/a*argth(x/a) si |x| < a

Oui j'avais fait ça mais ensuite j'avais des ln, des Artan et des Argth complexes et je ne savais pas trop quoi en faire...

[invitef4a7128d]

normalement que tu ai des ln et arctan c'est normal.
après pour les complexes, j'y pense même pas, c'est super compliqué dù a une discontinuité de l'ensemble des complexes. Donc pas applicable pour les réels
XD
moi par contre pour le résoudre, j'etais parti avec
x^4+1 = (X^2+1/2)^2 + 3/4

[invitef4a7128d]

Bonsoir.
Comme une intégrale normale :
int(1/(a^2-x^2)) = 1/a*argth(x/a) si |x| < a

ben le problème c'est que tu as un x^2 au numérateur que tu ne peux pas "ignorer"

[invite57a1e779]

x^4+1 = (X^2+1/2)^2 + 3/4

C'est vraiment vrai ?

[invitef4a7128d]

oui en effet XD
j'ai mal calculé
ca ferai
(x^2+1/2)^2 -X^2+3/4
donc useless

[invitef4a7128d]

Bonsoir.
Comme une intégrale normale :
int(1/(a^2-x^2)) = 1/a*argth(x/a) si |x| < a

il doit y avoir une faute parce que
int(1/(a^2+x^2)) = 1/a*argth(x/a)

[invite57a1e779]

Pas du tout :

[invitef4a7128d]

et c'est argtan en plus

[inviteea028771]

battleofarms,

1/(a²+x²) a pour primitive 1/a*actan(x/a)

1/(a²-x²) a pour primitive 1/a*argtanh(x/a)

[invite57a1e779]

1/(a²-x²) a pour primitive 1/a*argtanh(x/a)

ou 1/a*argcoth(x/a) suivant l'intervalle sur lequel on utilise la primitive.

[invitef4a7128d]

(re)bonjour les gens,
est'ce qu'il est possible de mettre une trame de raisonnement pour résoudre cette foutue intégrale, ca fait 1 semaine que je suis dessus et je n'arrive toujours pas a la résoudre
merci

[invite57a1e779]

Une astuce : 1+x^4 s'écrit (1+x²)²-2x²

On t'a donné un bonne indication :



donc :



et cette dernière expression permet d'obtenir rapidement une primitive.

[invitef4a7128d]

merci beaucoup pour l'aide!
je vais essayer et je vous dis ca XD

encore merci

[invitef4a7128d]

ok c'est bon todo bueno certifié ti-nspire cas.
il faut mettre un "résolu" au tuto?